小波分析及其应用

2021/3/111小波分析及其应用小波分析及其应用 Wavelet Analysis andIts Applications 2021/3/112小波分析及其应用小波分析及其应用1、小波变换简介 2、小波分析在一维信号处理中的应用 3、小波分析在图象分析中的应用 图象特征抽取 图象压缩 数据隐藏和图象水印2021/3/113小波变换简介 1.1小波变换的理论基础小波变换的理论基础 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度2021/3/114（a）正弦波曲线；(b)小波曲线(a)(b)2021/3/1152021/3/116 从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）用下式表示：dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),(1.1)式（1.1）表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。

CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）的函数2021/3/117 基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下：(1)缩放简单地讲，缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄，如图1.2所示图1.2 小波的缩放操作 OOOf(t)f(t)f(t)tttf(t)(t)；scale1f(t)(2t)；scale0.5f(t)(4t)；scale0.252021/3/118 (2)平移简单地讲，平移就是小波的延迟或超前在数学上，函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图1.3所示图1.3 小波的平移操作(a)小波函数(t)；(b)位移后的小波函数(t-k)Ot(t)Ot(t k)(a)(b)2021/3/119图1.4 计算系数值C 原始信号小波信号C0.01022021/3/1110图1.5 计算平移后系数值C 原 始 信 号小 波 信 号2021/3/1111图1.6 计算尺度后系数值C 原 始 信 号小 波 信 号C 0.22472021/3/1112图1.7 小波分解示意图SAD滤波器组低通高通2021/3/1113图1.12 多层小波重构示意图A3D3A2D2SA1D12021/3/1114小波的时间和频率特性小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。

时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化顾名思义，小波在某时间发生的小的波动频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分时间A时间B2021/3/1115多分辨度分析（多分辨度分析（MRA）1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理例如：2021/3/1116 2021/3/1117 参考：M.Vetterli,”Wavelets and Subband Coding“,Prentice Hall PTR,1995 p.112021/3/1118小波的小波的3 个特点个特点小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间有利于分析确定时间发生的现象傅里叶变换只具有频率分析的性质）小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：MOMMOwf,log22021/3/1119小波基表示发生的时间和频率小波基表示发生的时间和频率“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较 傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基2021/3/1120 Haar小小波基母函数波基母函数（a）Haar“近似”基函数 （b）Haar“细节”基函数 低频滤波系数 高频滤波系数 H0=1 1 q H1=1 -1 q =q q =q -q 其中：7071.02 q2021/3/1121Haar小波的基函数小波的基函数第 1 行基函数是取平均（近似），第 2-8 行基函数是取变化（细节）。

细节包括变化速率和发生的时间H0=1 1 q H1=1 -1 q尺度函数近似基函数小波函数细节基函数7071.02 q2021/3/1122小波分析发展历史小波分析发展历史1807年 Fourier 提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文1910年 Haar 提出最简单的小波1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域2021/3/1123小波基可以通过给定滤波系数生成小波基可以通过给定滤波系数生成 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定滤波系数生成有的小波基是正交的，有的是非正交的有的小波基是对称的，有的是非对称的小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这是 I.Daubechies 等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础2021/3/1124小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(Haar-正交，对称正交，对称)“近似”基函数“反变换”低频和高频“滤波系数”“细节”基函数Haar小波“正变换”低频和高频“滤波系数”2021/3/1125小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(db 2-正交，不对称正交，不对称)“近似”基函数“细节”基函数 db小波“反变换”低频和高频“滤波系数”“正变换”低频和高频“滤波系数”2021/3/1126小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(db 4-正交，不对称正交，不对称)2021/3/1127小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(sym 4-正交，近似对称正交，近似对称)2021/3/1128小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(bior 2.4 双正交，对称双正交，对称)2021/3/1129小波基函数和滤波系数小波基函数和滤波系数(bior 6.8 双正交，对称双正交，对称)2021/3/11302 2、小波、小波分析分析在一维信号处理中的应用在一维信号处理中的应用小波变换小波变换就是将 “原始信号 s”变换 成 “小波 系数 w”，w=wa,wd 包括近似(approximation)系数wa 与细节(detail)系数wd 近似系数wa-平均成分（低频）细节系数wd-变化成分（高频）2021/3/1131小波原始信号分解过程：小波原始信号分解过程：原始信号s可分解成小波近似 a 与小波细节d 之和。

s=a+d小波系数 w=wa,wd 的分量，乘以 基函数，形成小波分解：小波近似系数wa 基函数A=近似分解 a-平均小波细节系数wd 基函数D=细节分解 d-变化 2021/3/1132小波分解和小波分解和小波基小波基 小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量反变换：所有“小波分解”合成原始信号 例如：小波分解 a=小波系数 wa 小波基A2021/3/1133离散小波变换公式离散小波变换公式正变换反变换 其中：是小波基函数参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年（R.C.Gonzalaz,”Digital Image Processing”，p.375)信号 s 有M个样本，J 级小波变换：nDnAnDwnAwndnansJjnDnswnAnswwwwwMnjJJjjjdJJaJjiJjjdJJadJdJaJ,1,.,1111小波分解小波系数2021/3/1134一维信号小波变换例子一维信号小波变换例子Haar小波，例子：16点信号:6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9通过MATLAB实现(wavemenu)波形图小波正变换：小波系数：小波近似系数（加）；小波细节系数（减）小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号。

有2种：近似分解；细节分解2021/3/1135一维信号的二级小波变换系数一维信号的二级小波变换系数原始信号2级小波系数 w2=wa2,wd2,wd1*Haar是正交变换除以常数，目的使变换后平方和不变例如：2 62113411286362162823289331895658738956122ddawwws20621212622889562222222216位2级近似系数2级细节系数1级细节系数16位2021/3/1136一维信号的二级小波变换分解一维信号的二级小波变换分解2级近似分解 （原始信号每4个平均值）2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）1级细节分解 （原始信号单数和双数的差值）恢复信号 9331895658738956 2662211113344111148888666633336666416161616282828282323232328282828122122ddasdda2021/3/1137一维信号的二级小波变换系数和分解一维信号的二级小波变换系数和分解原始信号2级小波系数w2=wa2,wd2,wd1 2级近似分解 （原始信号每4个平均值）2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）1级细节分解 （原始信号单数和双数的差值）恢复信号 9331895658738956 2662211113344111148888666633336666416161616282828282323232328282828262113411286362162823289331895658738956122122122ddasddawwwsdda2021/3/1138原始信号原始信号 16点点 16点原始信号点原始信号 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 2021/3/1139两级小波系数两级小波系数16点点原始信号小波系数 26211341128636933189565873895612ddwws原始信号(红)两级小波系数wd1wd2|wd2|wd1|2021/3/114016点点 信号信号 的的Haar小波近似值和细节分解小波近似值和细节分解 两级分解26622111133441111488886666333366664161616162828282823232323282828289331895658738956122122ddaddas2021/3/1141小波小波去噪声去噪声 一般噪声特点：一般噪声特点：（1）高频成分（细节），（2）幅度小：用阈值；去噪声过程：去噪声过程：去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。

对2级小波，设定2个阈值，称“阈值2”和“阈值1”去除1级噪声：去除1级小波细节分解中小于“阈值1”部分去除2级噪声：去除2级小波细节分解中小于“阈值2”部分恢复：恢复：将小波近似分解，加上去噪声后小波细节分解，即获得去除噪声的信号 2021/3/1142噪声去除噪声去除 418161515282828282323232328282828262113411286362162823289331895658738956122122ddaswwwsdndda两级分解噪声去除，括号内保留部分数据原始信号(红),去噪后 (黄)wd1两级小波系数wd22021/3/1143小波小波去噪声去噪声16点点 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9|wd1|1级去噪前绝对值|wd1|1级去噪后绝对值|wd2|2级去噪后绝对值|wd2|2级去噪前绝对值原始信号(红),去噪后 (黄)1 级细节小波系数2 级细节小波系数0.7071,1,-4,3,1,1,-2,-60.5-6,-3,-6,-8两级小波系数阈值1wd1wd2阈值22021/3/1144Haar小波小波去噪声去噪声（16点信号）点信号）16点原始信号点原始信号 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 小波去噪声两级分解2021/3/1145一维信号的小波变换例子一维信号的小波变换例子 2 2（电压曲线电压曲线）通过MATLAB实现(wavemenu)波形图 (MATLAB toolbox wavelet wavedemo leleccum.mat)是“电网监视的电压曲线电网监视的电压曲线”，有4570个点Haar小波变换 2021/3/1146 haar 小波小波(s=a2+d2+d1 1)(wavemenu)leleccum Level 2(s-原始信号，a2-近似，d1 1-d2细节)1 级细节分解(奇偶数值的差)2 级 细节分解(前2和后2的差)原始信号(红)2 级近似分解值2 级小波分解波形中的毛刺(见下页)2021/3/1147 1 级细节分解(奇偶数值的差)2 级细节分解(前2和后2的差)原始信号(红)2 级近似分解值2 级小波分解（放大）波形中的毛刺2021/3/1148图图-5 haar(s=a5+d5+.+d1 1)(wavemenu)leleccum Level 5 a5-近似，d5 5-d1细节附录附录-5(wavemenu)leleccum haar Level 5 leleccum.mat 是有36560个点的一维电压信号(s-原始信号，a1-近似，d1-细节)信号前2和后2的差-细节2信号奇偶数值的差-细节1原始信号信号-近似值5 级小波分解2021/3/1149小波小波去噪声去噪声 leleccum haar 小波小波 两级小波系数1 级细节小波系数2 级细节小波系数黄虚线表示阈值wd1wd2原始信号(红),去噪后(黄)|wd1|1级去噪前绝对值|wd1|1级去噪后绝对值|wd2|2级去噪后绝对值|wd2|2级去噪前绝对值2021/3/1150小波小波压缩压缩 leleccum haar 黄虚线表示阈值1 级细节小波系数2 级细节小波系数wd1wd2原始信号(红),压缩后(黄)两级小波系数|wd1|1级去噪前绝对值|wd1|1级去噪后绝对值|wd2|2 级去噪后绝对值|wd2|2 级去噪前绝对值2021/3/1151小波小波压缩效果压缩效果 leleccum haar 黄色虚线全局阈值（自动分配两级阈值）紫色线相对能量百分比（能量尽量保持）绿色线零数目百分比(零数目愈大，压缩愈明显)2021/3/11523、小波小波分析分析在图象处理中的应用在图象处理中的应用图象是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。

1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的行变换2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的列变换小波变换用于图象压缩有良好的效果，已形成图象压缩的标准如JPEG20002021/3/1153小波变换用于图象特征抽取小波变换用于图象特征抽取 第1级斜线细节第1级水平细节第1级垂直细节水平细节近似图象垂直细节斜线细节2021/3/1154 第1级 L1斜线细节第1级 L1水平细节第1级 L1垂直细节第2级 L2细节近似图象第3级 L3小波系数分级方块表示法2021/3/1155 第 3 级 L3分辨率第 2 级 L2分辨率第 1 级 L1分辨率小波系数分级树形表示法2021/3/1156小波变换用于图象压缩小波变换用于图象压缩 采用小波进行压缩作“小波变换”后，统计特性有改善，消除行和列之间的相关关系有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配然后转换到一维作熵编码，如算术编码或霍夫曼编码无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差但不能进行比特分配2021/3/1157小波变换用于图象压缩小波变换用于图象压缩 第 3 级 L3 水平、斜线、垂直细节第 2 级 L2 水平、斜线、垂直细节第 1 级 L1 水平、斜线、垂直细节两阈值线之间的直方图被去除（有损压缩）2021/3/1158小波变换用于无损数据隐藏小波变换用于无损数据隐藏无损数据隐藏：是基于无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差。

例如可以采用第二代小波无损数据隐藏：避免在嵌入数据后小波反变换时图象灰度的溢出小波变换前要作预处理，作直方图调整，将图象中灰度出现少的数据，合并入隐藏数据第一个无损数据隐藏是1999年科达公司发表的一个专利由于法律上原因，医学图象数据隐藏必须是无损的此外、无损数据隐藏在电子银行、电子政务、电子商务、图象建档等有广泛的用途2021/3/1159数据嵌入数据嵌入核磁共振医学图象核磁共振医学图象 (可可无损恢复无损恢复)(水印图象见下页)(a)原始(5125128)(b)小波域嵌入水印图象 2021/3/1160水印图象水印图象(1921202 二值图象)2021/3/1161小波变换用于无损数据隐藏小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）交通图象）原始图象（1024768）信息隐藏后的伪装图象（1024768）同时隐藏 5 张（320280）图象（见下页）2021/3/1162同时隐藏的同时隐藏的 5 5 张（张（320320280280）交通图象，）交通图象，可完全恢复可完全恢复 （1）上海延安路（3）上海 曲阳路（2）外地（4）上海 曲阳路（5）上海 曲阳路2021/3/1163小波变换用于图象水印小波变换用于图象水印 指纹原始图象 嵌入水印(取款密码等)后图象 指纹传感器：标准的Veridicom指纹鼠标 指纹开发工具：Veridicom Authentication SDK以Windows的DLL库方式提供 指纹库：(Fingerprint Verification Competition,FVC)。

FVC2000 db1是由光学设备采集；FVC2000 db2是由电容设备采集银行取款密码嵌入指纹，网上进行身份认证2021/3/1164小波变换用于图象水印小波变换用于图象水印 小波正变换小波反变换小波 正变换小波反变换数据嵌入数据提取原始图象加水印后图象输入原始图象加水印后图象 输出隐藏数据隐藏数据2021/3/1165小波分析最新进展小波分析最新进展（1）第二代小波，称提升算法，可用于整数小波2）嵌入零树法，获得更优良的效果3）小波与统计理论结合4）商品化，如“JPEG2000”小波图象压缩标准，MATLAB小波计算包等2021/3/1166小结小结（1）小波分析理论上比较完善 小波变换基，既具有频率局域性质，又具有时间局域性质小波变换的多分辨度的变换，能在多个尺度上分解，便于观察信号在不同尺度（分辨率）上不同时间的特性2）小波分析有广泛的实用性 小波变换存在快速算法，对于M点序列而言，计算复杂性为：O(M)，处理快速小波变换基函数有多种类型，可以是正交的，也可以是非正交（双正交），比傅里叶变换更加灵活。