误差的基本概念

第 1章 误 差 的 基 本 概 念 1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用 1.2 关 于 测 量 的 一 些 概 念 1.3 误 差 的 概 念 1.4 有 效 数 字 与 数 值 运 算1 计 量 学 概 述 及 误 差 的 基 本 概 念 本 章 主 要 内 容 什 么 是 计 量 学计 量 学 是 一 门 研 究 测 量 、 保 证 测 量 统 一 和 准 确 的 科 学 1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用主 要 内 容(1) 建 立 计 量 单 位 及 其 基 准 、 标 准 ， 基 准 和 标 准 的 复 制 、 保 存 和 传 递 2) 保 证 国 家 内 部 和 国 际 间 计 量 量 值 的 统 一 性 3) 拟 定 测 量 方 法 ， 设 计 器 具 、 工 具 ， 以 便 实 施 测 量 4) 分 析 和 估 计 测 量 结 果 的 不 确 定 度 ， 并 设 法 提 高 其 准 确 度 廿 六 年 ， 皇 帝 尽 并 兼 天 下 诸 侯 ，黔 首 大 安 ， 立 号为 皇 帝 ， 乃 诏 丞相 状 、 绾 ， 法 度量 则 不 壹 歉 疑者 ， 皆 明 壹 之 。

1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用门 捷 列 夫 (1834-1907) 科 学 始 于 测 量 ,没 有 测 量 ，便 没 有 精 密 的 科 学 门 捷 列 夫 1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用开 尔 文 （ 1824-1907）当 你 能 够 测 量 你 所 关 注 的 事物 ， 而 且 能 够 用 数 量 来 描 述 他的 时 候 ， 你 就 对 其 有 所 认 识 ；当 你 不 能 测 量 他 ， 也 不 能 将 其量 化 的 时 候 ， 你 对 他 的 了 解 就是 贫 乏 和 不 深 入 的 开 尔 文 1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用钱 学 森 (1911-2010 ) 钱 学 森信 息 技 术 包 括 测 量技 术 、 计 算 机 技 术和 通 信 技 术 ， 测 量技 术 是 信 息 技 术 的关 键 和 基 础 1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用王 大 珩 (1915- ) 王 大 珩 等仪 器 仪 表 是 工 业 生 产的 “ 倍 增 器 ” ， 是 高新技 术 和 科 研 的 “ 催 化剂 ” ， 在 军 事 上 体 现的 是 “ 战 斗 力 ” 。

卫 星 上 天 离 不 开 测控 与 计 量 技 术 作 保 障 ，半 导 体 芯 片 工 业 生 产需 要 亚 微 米 级 乃 至 纳米 级 的 高 精 密 光 刻 技术 ， 纳 米 材 料 和 纳 米测 量 ， 精 密 的 激 光 制导 和 光 电 对 抗 技 术 等 ，以 及 人 民 日 常 生 活 密切 相 关 的 生 物 基 因 研究 也 都 离 不 开 精 密 的计 测 技 术 1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用 (1) 信 息 收 集 ； 没 有 计 量 测 试 ， 就 没 有 现 代 科 学计 量 学 的 作 用(2) 发 现 物 理 定 理 ： 自 由 落 体 定 理(4) 计 量 与 测 试 永 远 是 促 进 科 学 技 术 和 工 业 进 步 的 重 要 因 素 ；(3) 进 一 步 完 善 理 论 ： 光 量 子 能 量 守 恒(5) 计 量 是 精 密 加 工 的 基 础 ， 是 产 品 质 量 的 保 护 神 ；(6) 计 量 测 试 是 认 识 客 观 世 界 的 有 力 工 具 ： 冥 王 星 的 发 现1.1 计 量 学 的 内 容 与 作 用 一 测 量1.2 关 于 测 量 的 一 些 概 念 被 测 量值 测 量 单 位比 值物 理 量 ： 可 以 用 数 值 来 评 价 （ 表 示 ） 其 物 质 特 性 （ 状 态 、 运 动 等 ） 的 量 ， 称 为 物 理 量 。

测 量 ： 用 实 验 方 法 ， 将 物 理 量 与 作 为 单 位 量 的 某 量 值 相 比 较 ， 并 求 出 其 比 值 的 过 程 称 之 为 测 量 测 量 的 数 学 模 型 L = qu 二 测 量 结 果1.2 关 于 测 量 的 一 些 概 念测 量 结 果 ： 由 测 量 所 获 得 的 量 值 叫 测 量 结 果 三 测 量 方 法组 成 ： 比 值 测 量 单 位 误 差 ， 三 大 部 分 组 成 按 实 验 数 据 的 处 理 方 式 ， 测 量 方 法 可 分 为 直 接 测 量 、 间 接 测 量 和 组 合 测 量 1 直 接 测 量 y = x 测 量 值结 果例 如 ： 直 尺 测 长 度 ； 电 子 秤 称 重 y = f(x)2 间 接 测 量3 组 合 测 量 结 果 测 量值函 数1.2 关 于 测 量 的 一 些 概 念 0),( 0),( 0),( 21 2212 1211 nnn nn xyyyf xyyyf xyyyf 通 过 解 方 程 ， 从 而 求 出 待 求 量 的 值 例 如 ： 用 弦 长 弓 高 法 测 量 圆 弧 的 直 径 一 误 差 的 含 义1.3 误 差 的 概 念误 差 是 评 定 精 度 的 尺 度 ， 误 差 愈 小 表 示 精 度 愈 高 。

测 量 值误 差 真 值二 误 差 的 类 型 0 xx真 值 可 望 不 可 即 ； 一 般 用 算 术 平 均 值 或 量 值 精 度 足 够 高 的 测 量 值 来 代 替 真 值随 机 误 差 ：在 同 一 测 量 条 件 下 ， 多 次 重 复 测 量 同 一 量 值 ， 测 量 误 差 的 绝 对 值 和 正 负 符 号 以 不 可预 知 的 方 式 变 化 测 量 次 数 足 够 多 时 ， 随 机 误 差 服 从 一 定 的 统 计 分 布 规 律 在 同 一 测 量 条 件 下 ， 多 次 重 复 测 量 同 一 量 值 ， 测 量 误 差 的 绝 对 值 和 正 负 符 号 保 持 不变 ， 或 在 测 量 条 件 改 变 时 按 一 定 规 律 变 化 的 误 差 1.3 误 差 的 概 念系 统 误 差 ：粗 大 误 差 ：粗 大 （ 疏 忽 ） 误 差 ： 由 于 测 量 者 的 疏 忽 大 意 ， 或 环 境 的 突 然 变 化 而 引 起 的 测 量 误差 测 量 过 程 四 要 素 ： 测 量 对 象 ； 测 量 单 位 ； 测 量 方 法 ； 测 量 精 度 三 误 差 的 表 示 方 法1.3 误 差 的 概 念1 绝 对 误 差绝 对 误 差 可 为 正 值 或 负 值 测 量 值误 差 真 值0 xx示 值 误 差 示 值 真 值修 正 值 误 差 真 值 测 量 值 偏 差 实 际 值 标 称 值绝 对 误 差 的 表 现 形 式 ： 2 相 对 误 差 绝 对 误 差相 对 误 差 真 值 xx 0 测 得 值（ 1） 相 对 误 差 一 般 用 百 分 比 （ ） 表 示 ；（ 2） 对 于 不 同 量 值 ， 相 对 误 差 越 小 ， 测 量 精 度 越 高 。

1.3 误 差 的 概 念 例 1.1 多 级 弹 道 导 弹 的 射 程 为 L1 1000km， 其 射 击 偏 离 预 定 点 的 误 差 为 1 0.1km； 而 在 射 击 场 ， 优 秀 射 手 能 在 距 离 L2=50m远 处 ， 射 击 靶 心 的 误差 为 2 2cm的 ， 试 比 较 哪 一 个 射 击 精 度 高 1.3 误 差 的 概 念解 ： 两 种 射 击 方 法 的 相 对 误 差 为 %01.010001.01 %04.05002.0 2 ， 故 弹 道 导 弹 的 射 击 精 度 比 优 秀 射 手 的 精 度 高 21 1.3 误 差 的 概 念3 引 用 误 差 %001 测 量 范 围 上 限示 值 误 差引 用 误 差例 如 ： 某 电 流 表 ， 其 测 量 最 大 值 为150mA， 现 测 量 的 绝 对 误 差 为 0.5mA，求 测 量 的 引 用 误 差 解 ： 引 用 误 差 33.0%0011505.0 四 精 密 度 、 正 确 度 、 精 确 度 （ 准 确 度 ）名 词 解 释 意 义精 密 度 在 一 定 的 条 件 下 ， 进 行 多 次 测 量 ， 所 得 测 量结 果 彼 此 之 间 符 合 的 程 度 表 示 随 机 误 差 的 大 小 程 度（ 又 叫 随 机 不 确 定 度 ）正 确 度 在 规 定 的 条 件 下 ， 实 验 中 所 有 的 系 统 误 差 的综 合 大 小 表 示 系 统 误 差 的 大 小 程 度精 确 度 测 量 结 果 中 删 去 粗 大 误 差 后 ， 测 量 值 与 真 值的 一 致 程 度 表 示 系 统 误 差 与 随 机 误 差 综合 后 ， 测 量 的 准 确 程 度 精 密 度 正 确 度 精 确 度 （ 准 确 度 ） 1.3 误 差 的 概 念 五 测 量 误 差 的 来 源序 号 测 量 误 差 来 源 解 释 误 差 种 类1 测 量 装 置 误 差 标 准 器 具 的 误 差 ： 标 准 器 具 不 可 避免 地 含 有 一 定 的 误 差 从 而 引 起 的 误差 系 统 误 差测 量 装 置 的 误 差 ： 仪 器 仪 表 、 附 件 、安 装 、 定 位 、 测 力 等 引 起 的 误 差 系 统 误 差 ;偶 然 误差2 方 法 误 差 测 量 方 法 不 完 善 引 起 的 误 差 系 统 误 差3 人 员 误 差 测 量 者 操 作 或 读 数 产 生 的 误 差 偶 然 误 差 ； 粗 大 误差 ； 系 统 误 差 4 环 境 误 差 各 种 环 境 因 素 与 标 准 状 态 不 一 致 而引 起 的 误 差 系 统 误 差 ;偶 然 误差 1.3 误 差 的 概 念 六 研 究 误 差 的 目 的（ 1） 分 析 误 差 的 性 质 和 产 生 的 原 因 ， 采 取 相 应 的 措 施 ， 以 便 从 根 源 上消 除 误 差 ， 或 将 误 差 减 小 到 最 低 限 度 ；（ 2） 正 确 计 算 和 处 理 测 量 数 据 ， 尽 可 能 提 高 测 量 结 果 的 精 确 度 。

正 确 表达 测 量 结 果 ， 以 适 应 各 方 面 的 需 求 和 交 流 ；（ 3） 合 理 地 安 排 测 量 过 程 ， 正 确 地 设 计 或 选 用 计 量 器 具 和 测 量 方 法 ， 以求 在 满 足 测 量 精 度 要 求 的 前 提 下 ， 提 高 测 量 效 果 ， 降 低 测 量 成 本 1.3 误 差 的 概 念 一 近 似 值1.4 有 效 数 字 与 数 值 运 算物 理 量 大 多 含 有 误 差 ； 工 程 问 题 中 ， 由 于 参 与 计 算 的 值 为 近 似 值 ； 避 免 盲 目 追求 不 切 实 际 的 没 有 必 要 的 高 精 确 ； 计 算 效 率 提 高二 有 效 数 字 和 有 效 位 数 26.428mm 例 如 ， 下 面 的 方 程 组 （ a） 和 （ b） 及 其 对 应 解 为 )(10000999909999.0 1 )(100001000100001.1 1 byxyx yx ayxyx yx 对 应 解 为对 应 解 为两 个 方 程 组 仅 有 一 个 系 数 相 差 万 分 之 二 ， 但 所 得 结 果 差 异 极 大 。

1.4 有 效 数 字 与 数 值 运 算 有 效 数 字 ： 一 个 数 据 ， 从 第 一 个 非 “ 0”的 数 字 起 ， 到 （ 包 括 ） 最 后 一 位 唯 一 不 确定 的 数 字 为 止 所 有 的 数 字 1.4 有 效 数 字 与 数 值 运 算3.1416, 0.21173, 280.00 均 为 五 位 有 效 数 字 ；0.00134， 134, 1.34 均 为 三 位 有 效 数 字 在 判 断 有 效 数 字 时 ， 要 特 别 注 意 “ 0”这 个 数 字 :(1) 它 既 可 以 是 有 效 数 字 ， 又 可 以 不 是 有 效 数 字 2) 是 有 效 数 字 的 0， 决 定 该 数 的 精 确 度 ， 不 可 随 意 增 加 或 减 少 例 如 0.00314的 前 面 的 三 个 0均 不 是 有 效 数 字 ； 280.00的 后 面 的 三 个 0均 是有 效 数 字 例 如 280.00的 误 差 的 绝 对 值 为 0.005； 280的 误 差 的 绝 对 值 为 0.5 原 有 数 据 舍 入 后 数 据 3.14159 2.71729 4.51050 3.21550 6.378501 7.691499 5.4360数 据 修 约 的 “ 四 舍 五 入 ” 的 方 法 法 ：1.4 有 效 数 字 与 数 值 运 算(1) 拟 舍 弃 的 数 字 最 左 一 位 小 于 0.5时 ， 则 舍 去 ；(2)拟 舍 弃 的 数 字 最 左 一 位 大 于 0.5时 ， 则 进 一 ；(3)拟 舍 弃 的 数 字 最 左 一 位 等 于 0.5时 ， 则 看 “ 5”前 面 的 数 字 ： 为 奇 数 时 则 去 5进 1；为 偶 数 时 则 去 5不 进 。

工 程 上 对 近 似 数 右 边 带 有 若 干 个 “ 0”的 数 字 ， 常 写 成 形 式 ， 这时有 效 位 数 由 a确 定 ， 如 和 分 别 表 示 为 有 3位 和 2位 有 效 数 字 ，二 者 的 精 度 是 不 同 的 n10a 101 a 31040.2 3104.2 例 ： 将 下 列 测 量 结 果 修 约 为 4位 有 效 数 3.1422.7174.5103.216 6.379 7.691 5.436 三 、 数 据 运 算 规 则 1.4 有 效 数 字 与 数 值 运 算（ 1） 多 个 近 似 数 （ 不 超 过 10个 ） 作 加 、 减 运 算 时 ， 小 数 位 数 较 多 的 近 似 数 ， 只 需比 小 数 位 数 最 少 的 近 似 数 多 保 留 一 位 而 计 算 结 果 的 小 数 位 数 ， 应 与 小 数 位 数 最少 的 那 个 近 似 数 相 同 例 如 ： 9.742711.243343.11425.4 （ 3） 两 个 近 似 数 作 乘 、 除 运 算 时 ， 有 效 位 数 较 多 的 近 似 数 ， 比 有 效 位 数 少 的 多 保留 一 位 ， 计 算 结 果 应 保 留 与 有 效 位 数 少 的 那 个 数 相 同 的 有 效 位 数 。

例 如 ： 4.2142.3 （ 2） 若 参 加 运 算 的 各 数 属 于 同 一 量 级 ， 且 第 一 位 数 的 大 小 相 差 甚 大 时 ， 为 了 避 免第 一 位 数 小 的 那 个 数 的 相 对 误 差 过 大 ， 可 将 其 有 效 数 多 保 留 一 位 1789.5 9.7411.24343.11425.4 1789.48 536.74.214.3 5.7 （ 4） 在 近 似 数 乘 方 或 开 方 运 算 时 ， 计 算 结 果 从 第 一 个 不 是 零 的 数 字 起 ，应 保 留 的 数 字 和 原 来 近 似 数 的 有 效 数 字 的 位 数 相 同 1.4 有 效 数 字 与 数 值 运 算（ 7） 如 运 算 所 得 的 数 据 还 要 进 行 再 运 算 ， 则 该 数 据 的 有 效 位 数 可 比 应 截 取 的 位 数暂 时 多 保 留 一 位 数 字 5） 在 三 角 函 数 的 运 算 中 ， 函 数 值 的 位 数 应 随 角 度 误 差 的 减 小 而 增 多 ，当 角 度 误 差 为 10“， 1“， 0.1”及 0.01“时 ， 对 应 的 函 数 值 的 位 数 为 5,6,7及 8位 。

（ 6） 作 对 数 运 算 时 ， n位 有 效 数 字 的 数 据 应 该 用 n位 或 （ n+1） 位 对 数 表 8） 表 示 误 差 范 围 的 参 数 ， 如 测 量 不 确 定 度 、 标 准 差 ， 其 有 效 位 数 一 般 为 一位 ， 最 多 为 两 位 作 业 费 业 泰 （ 第 5版 ）P8:1-5;1-6 ？讨 论 。