2013年湖南省高考数学理科试卷与答案.doc

2013年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）　A．2+iB．2﹣iC．﹣1+2iD．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．407442 专题：计算题．分析：要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．解答：解：复数===2﹣i故选B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．　2．（5分）若M={直线}，N={抛物线}，则M∩N的元素个数是（　　）　A．0B．1C．2D．不能确定考点：函数的零点．407442 专题：函数的性质及应用．分析：根据两个集合的意义，两个集合的交集的定义，求得M∩N的元素个数．解答：解：由于M={直线}，表示所有直线构成的集合，N={抛物线}，表示所有的抛物线构成的集合，故M∩N=∅，故M∩N的元素个数是0，故选A．点评：本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，集合的表示方法，属于基础题．　3．（5分）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（　　）　A．π+2B．C．2π+2D．2考点：由三视图求面积、体积．407442 专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，再利用体积公式，即可得到结论．解答：解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是斜边为2的等腰直角三角形，高是2，圆柱的底面半径是1，高是2，所以该几何体的体积为=π+2故选A．点评：本题考查由三视图还原几何体的直观图，考查几何体体积的计算，属于基础题．　4．（5分）高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有（　　）　A．16种B．18种C．20种D．22种考点：排列、组合及简单计数问题．407442 专题：概率与统计．分析：利用两个计数原理及排列和组合的计算公式即可得出．解答：解：分为以下两类：一类：若选出的3人中有乙，还得选出另外2人有，又乙只能从书记、宣传委员中选出一个职位，可有，因此，共有=12种不同的结果；另一类：若选出的3人中没有乙，则可有=6种不同的结果．综上共有：12+6=18种不同的结果．故选B，点评：熟练掌握两个计数原理及排列和组合的计算公式是解题的关键．　5．（5分）若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为（　　）　A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用；几何概型．407442 专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（1，0），B（0，1），0为坐标原点∵单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为∴在区域内任取一点P，点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P===故选：A点评：本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题．　6．（5分）设直线l的方程为：x+ysinθ﹣2013=0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（　　）　A．[0，π）B．C．D．考点：直线的一般式方程．407442 专题：直线与圆．分析：当sinθ=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角α=，当sinθ≠0时，直线l的斜率k=结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线l的斜率k的取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案．解答：解：当sinθ=0时，直线l的方程为：x﹣2013=0此时倾斜角α=当sinθ≠0时，直线l的方程为：y=x+2013直线l的斜率k=∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）直线l的倾斜角α∈综上所述：直线l的倾斜角α∈故选C点评：本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，解答时易忽略直线l的斜率不存在，倾斜角α=，而错选D．　7．（5分）下列命题正确的有①用相关指数R2来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定p：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则；④回归直线一定过样本中心（）．（　　）　A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．407442 专题：证明题．分析：①相关指数表示拟合效果的好坏，指数越大，相关性越强．②存在性命题的否定是全称命题③正态分布函数曲线的特点是：关于x=μ对称，在x=μ处达到最大值④性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，解答：解：①R2越大拟合效果越好，故①不正确，②由存在性命题的否定是全称命题得②正确，③正态分布函数曲线的特点是：关于x=0对称，在x=0处达到最大值，且p（ξ＜0）=，若P（ξ＞1）=p则若P（ξ＜﹣1）=p所以．故③正确．④样本中心点在直线上，故④正确故选C．点评：本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．　8．（5分）在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（　　）　A．3+B．C．10D．5考点：两点间的距离公式．407442 专题：新定义．分析：利用新定义对x、y分类讨论即可得出．解答：解：∵d（C，A）=|x﹣2|+|y﹣3|，d（C，B）=|x﹣8|+|y﹣8|，d（C，A）=d（C，B），∴|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣8|+|y﹣8|，（*）∵实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则可以分以下4种情况：①当0≤x＜2，0≤y≤3时，（*）化为2﹣x+3﹣y=8﹣x+8﹣y，即11=0，矛盾，此种情况不可能；②当0≤x＜2，3＜y≤8时，（*）化为2﹣x+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到y=＞8，此时矛盾，此种情况不可能；③当2≤x≤8，0≤y≤3时，（*）化为x﹣2+3﹣y=8﹣x+8﹣y，得到x=，此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度为3；④当2≤x≤8，3＜y≤8时，（*）化为x﹣2+y﹣3=8﹣x+8﹣y，得到x+y=10.5，令y=8，得x=2.5，点（2.5，8）；令y=3，得x=7.5，点（7.5，3）．此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度==．综上可知：所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是3+5．故选A．点评：正确理解新定义、分类讨论的思想方法是解题的关键．　二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题0分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．计算的值等于　2　．考点：定积分．407442 专题：计算题．分析：根据定积分的计算法则进行计算，求出3x2的原函数即可；解答：解：==13﹣（﹣1）3=2，故答案为2．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的知识点，此题是一道基础题．　10．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且，，则圆O的面积等于　4π　．考点：正弦定理．407442 专题：计算题．分析：设圆的半径为R，由正弦定理可得，可求圆的半径，进而可求圆的面积解答：解：设圆的半径为R由正弦定理可得，∵，∴2R=∴R=2，S=4π故答案为：4π点评：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题　11．（5分）若曲线C的极坐标方程为 ρcos2θ=2sinθ，则曲线C的普通方程为　x2=2y　．考点：简单曲线的极坐标方程．407442 专题：直线与圆．分析：曲线的方程即 ρ2•cos2θ=2ρsinθ，根据极坐标和直角坐标之间的互化公式，求出它的直角坐标方程．解答：解：曲线C的极坐标方程为 ρcos2θ=2sinθ，即ρ2•cos2θ=2ρsinθ，化为直角坐标方程为 x2=2y，故答案为 x2=2y点评：本题主要考查曲线的极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，属于基础题．　12．（5分）看图程序运行后的输出结果s=　21　．考点：伪代码．407442 专题：图表型．分析：先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个循环结构．依其特点求解即可．解答：解：程序是一个循环结构，步长是2，每循环一次i就加进2，初始i=1，可循环4次，第4次进入循环体后i=9，故S=92+3=21．故答案为：21．点评：考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值．　13．（5分）已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的 　必要不充分　条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．407442 分析：a与b没有公共点，则a与b所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；但α∥β，则面面平行的性质定理，我们易得a与b平行或异面．结合充要条件定义即可得到结论．解答：解：∵a与b没有公共点时，a与b所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b上）；∴命题p：a与b没有公共点⇒命题q：α∥β，为假命题；又∵α∥β时，a与b平行或异面，即a与b没有公共点∴命题q：α∥β⇒命题p：a与b没有公共点，为真命题；故p是q的必要不充分条件故答案：必要不充分点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，我们先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．　14．（5分）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文密文密文明文．现在加密密钥为y=loga（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为　14　．考点：通讯安全中的基本问题．407442 专题：计算题．分析：根据题意中给出的解密密钥为y=loga（x+2），及明文“6”通过加密后得到密文“3”，可求出底数a的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为b，构造方程，解方程即可解答．解答：解：∵加密密钥为y=loga（x+2），由其加密、解密原理可知，当x=6时，y=3，从而a=2；不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b，则有4=log2（b+2），从而有b=24﹣2=14．即解密后得明文为14故答案为：14．点评：本题考查新运算，解题的关键是：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．　15．（5分）已知a，b，c成等差数列，则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长的最小值为　2　．考点：直线与圆锥曲线的关系．407442 专题：计算题．分析：利用等差数列的定义得到2b=a+c，求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出弦长，求出最小值．解答：解：因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c因为x2+y2﹣2x﹣2y=0表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆，则圆心到直线的距离为d==则直线ax﹣by+c=0被曲线x2+y2﹣2x﹣2y=0截得的弦长l=≥2所以0截得的弦长的最小值为2，故答案为2．点评：求直线与圆相交的弦长问题，一般通过构造直角三角形，利用勾股定理求出弦长．　16．（5分）已知x，y∈N*，且1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1，当x=2时，y=　4　；若把y表示成x的函数，其解析式是y=　　．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．407442 专题：等差数列与等比数列．分析：把x=2代入已知可得=10，解之即可；由又求和公式可得=，解之可得答案．解答：解：由题意可得x=2时，1+2+3+4+…+y=1+9，故可得=10，解得y=4，又由1+2+3+4+…+y=1+9+92++…+9x﹣1可得=，即y（y+1）=，故y=，故答案为：4；点评：本题考查等差数列和等比数列的求和公式，属中档题．　三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知，设ω＞0，，，若f（x）图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．当f（A）=1时，求b，c的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．407442 专题：三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由数量积的定义和三角函数的公式可得f（x）=，又可得，由周期公式可得；（2）由题意可得，由余弦定理和面积可得b，c的方程组，解之即可．解答：解：（1）∵==，又 ∴，解得ω=1；（2）∵f（A）=1，∴，由 0＜A＜π得 ，又∵∴解得或点评：本题考查平面向量数量积的运算，以及余弦定理的应用，属中档题．　18．（12分）在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．考点：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．407442 专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案．（Ⅱ）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，分别求出其概率，进而可得其分布列．解答：解：（Ⅰ）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，即相互独立事件同时发生，故其概率为：P=．（5分）（Ⅱ）根据题意，分析可得，该生答对题的个数可能为4，5，6，7，8，其概率分别为：P（ξ=8）=分布列为：（13分）点评：本题考查相互独立事件概率的乘法公式与随机变量的分布列，两者经常一起考查，平时要加强这方面的训练．　19．（12分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥面AEF；（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．407442 专题：计算题；证明题；空间角．分析：（1）连接A1C，证明AE⊥A1C，AF⊥A1C，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1C⊥面AEF；（2）如图说明∠NAO=θ就是截面AEF与底面ABCD所成二面角θ，通过解三角形，求出AC，BE，即可求解θ的正切值．解答：证明：（1）连接A1C正四棱柱⇒CB⊥平面ABB1A1⇒CB⊥AE又∵AE⊥A1B∴AE⊥平面A1BC⇒AE⊥A1C同理可得：AF⊥A1C∴A1C⊥平面AEF（2）∵AE⊥A1B⇒Rt△ABA1∽Rt△ABE⇒∠ABA1=∠BEA，如图EF的中点为N，AC 的中点为O，连结NO，则∠NAO=θ，又 底面边长是，侧棱长是3∴，得 ，BE=1同理 DF=1又 ，∴．点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．　20．（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．考点：函数模型的选择与应用；导数的运算．407442 专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求出列车的速度关于t的表达式，令v（t）=0解出即可；（2）利用（1），令t=0，解出即可；（3）因为加速度a（t）=V（t），利用导数求出即可．解答：解：（1）∵紧急刹车后列车的速度V（t）=S（t），∴，当列车完全停止时V（t）=0m/s，∴t2﹣4t﹣60=0，解得t=10或t=﹣6（舍去）．即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10s．（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10 s，又由列车的速度∴火车正常行驶的速度当t=0时，V（0）=90m/s（3）∵紧急刹车后列车运行的加速度a（t）=V（t）∴∵|a（t）|=∴|a（0）|最大，|a（t）|max=84m/s2点评：熟练掌握v（t）=s′（t），a（t）=v′（t）是解题的关键．　21．（13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，求a的取值范围．考点：圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质．407442 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意求出平行方程，得到椭圆与双曲线的焦点坐标，求出椭圆与双曲线中a，b，然后求椭圆与双曲线的方程；（2）设出抛物线上任意一点Q的坐标，点P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|≥|a|恒成立，求a的取值范围．解答：解：（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2∴抛物线方程为：y2=4x由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（﹣1，0）1，F2（1，0），∴c=1对于椭圆，∴，所以椭圆方程为对于双曲线，∴，所以双曲线方程为（2）设由|PQ|≥|a|得，t2+16﹣8a≥0，t2≥8a﹣16恒成立则8a﹣16≤0，a≤2∴a∈（﹣∞，2]点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，三种曲线的求法，两点间的距离公式的应用，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查转化思想．　22．（13分）已知二次函数f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n），（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}中，令，Tn=，求Tn；（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令（n为正整数），求数列{cn}的变号数．考点：数列与函数的综合．407442 专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由f（x）≤0的解集有且只有一个元素可知△=a2﹣4a=0，从而可求得a值，又定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，对a进行检验取舍，可确定a值，利用Sn与an的关系即可求得an．（2）由（1）求得bn，根据其结构特征利用错位相减法即可求得Tn；（3）先求出Cn，判断n≥3时数列的单调性，根据变号数的定义可得n≥3时的变号数，根据c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，可得此处变号数，从而可求得数列{cn}的变号数．解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2﹣4a=0⇒a=0或a=4，当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，当a=4时，函数f（x）=x2﹣4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．综上，得a=4，f（x）=x2﹣4x+4，∴，∴；（2）∵=，∴bn=n，，①，②①﹣②得，﹣Tn=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，∴；（3）由题设∵n≥3时，，∴n≥3时，数列{cn}递增，∵，由，可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处变号数有2个．综上得 数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3；点评：本题考查数列与函数的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，考查学生解决新问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求高．。