江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题（含附加题）纯word版

2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题 2015.3一、填空题（70分）1．已知集合，则 ． 2．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数 ． 3．双曲线的离心率为 ． 4．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：成绩（分）80分以下[80，100）[100，120）[120，140）[140，160]人数881210 2在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 ．5．函数的定义域为 ．6．如图，四棱锥P－ABCD中，⊥底面，底面是矩形，，，，点E为棱CD上一点，则三棱锥E－PAB的体积为 ．结束 开始 n←1 ，x←1x← y ← 2y + 1 输出x N （第7题） n > 5 Y n ← n + 1 7．右图是一个算法流程图，则输出的的值为 ． 8．已知等比数列的各项均为正数，若，，则 ．9．若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为 ．10．设函数的最小正周期为，且满足，则函数的单调增区间为 ． 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，,，且，则 ． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为 ． 13．已知直线与曲线恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为 ． 14．已知实数满足，且，则的最小值为 ．15．已知向量，，．（1）若⊥，求的值；（2）若∥，求的值． 16．D如图，四边形为矩形，四边形为菱形，且平面⊥平面，D，E分别为边，的中点．（1）求证：⊥平面；（2）求证：DE∥平面．17．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，和．（1）求烟囱AB的高度；（2）假如要在CE间修一条直路，求CE的长．（第17题）l18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P． （1）求椭圆C的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．　　　　　　　19．已知函数．（1）当时，求的单调减区间；（2）若存有m>0，方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．　20．已知数列的前n项和为，设数列满足．（1）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式；（2）若，，且数列，都是以2为公比的等比数列，求满足不等式的所有正整数n的集合．2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学ⅠI（附加题）试题OEDCBA（第21A题）21．A．如图，AB为圆O的切线，A为切点，C为线段AB的中点，过C作圆O的割线CED（E在C，D之间），求证：∠CBE=∠BDE．B． 求曲线在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．C．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)，求直线被曲线所截得的弦长．D．求函数的最大值．22．MPDCBA（第22题）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，M为PC的中点．（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．23．若存有个不同的正整数，对任意，都有，则称这个不同的正整数为“个好数”．（1）请分别对，构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数，均存有“个好数”．苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案一、填空题1． 2． 3． 4．0.3 5．6．4 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题15．解：（1）因为⊥，所以， ……………………………2分　　　即，即， …………………4分　　　又，所以． ………………………………………………6分（2）若∥，则， ……………………………………………8分　　　即，　　　所以， ………………………………………………………10分　　　所以， ………………………………………………………………11分　　　因为，所以， ………………………………………13分　　　所以，即． ……………………………………………………14分16．证明：（1）∵四边形为矩形，∴，………………………………2分　　　又平面⊥平面，平面平面=，∴平面， ……………………………………………………………3分　　　∵平面，∴， ……………………………………………4分　　　又四边形为菱形，∴， …………………………………………5分　　　∵，平面，平面，　　　∴⊥平面．…………………………………………………………………7分（2）取的中点F，连DF，EF，∵四边形为矩形，E，F分别为，的中点，∴EF∥AC，又平面，平面,∴EF∥平面， ………………………………………………………………10分又∵D，F分别为边，的中点，∴DF∥，又平面，平面,∴DF∥平面，∵，平面DEF，平面DEF， ∴平面DEF∥平面，…………………………………………………………12分∵平面DEF，∴DE∥平面．…………………………………………14分17．解：（1）设AB的高度为，在△CAB中，因为，所以， ………………………………1分在△OAB中，因为，， ………………………………2分所以，， ………………………………………………………4分由题意得，解得． ………………………………………6分答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分（2）在△OBC中，， …………………10分所以在△OCE中， ． …………………13分答：CE的长为10米． ……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C：的离心率为，　　　　∴，则，又椭圆C过点，∴．…………2分　 ∴，，　则椭圆C的方程． …………………………………………………4分　（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设， 将代入椭圆C的方程中并化简得：，………………………………………………………6分解之得，， ∴，从而．………………………………８分令，得，∴，． ………………………9分又＝， …………………………………11分　　∴， 　　∴． ………………………………………………………………………13分（3） =．　　∴为定值4． …………………………………………………………16分19．解：（1）当时， …………………………………1分　　当时，，　　由，解得，　　所以的单调减区间为， ………………………………………3分　　当时，，　　由，解得或，　　所以的单调减区间为， ……………………………………………5分　　综上：的单调减区间为，． ………………………6分（2） 当时，，则，令，得或，x0+0－0+↗极大值↘极小值↗所以有极大值，极小值，…………………………………7分当时， 同（1）的讨论可得，在上增，在上减，在上增，在上减，在上增，……………8分　　且函数有两个极大值点，　　，…………………………9分　　，……………………………10分　　且当时，， 所以若方程恰好有正根，则（否则至少有二个正根）． ……………………………………11分　　又方程恰好有一个负根，则． ………………………12分　　令，则，　 所以在时单调减，即，………………………13分等号当且仅当时取到．　　所以，等号当且仅当时取到．且此时，………………………………………14分即， …………………………………………………15分　　所以要使方程恰好有一个正根和一个负根，的最大值为．………16分20．解：（1）设等差数列的公差为，所以，， …………………………………………1分由，得，及由，又由，得对一切都成立， ………………………………………………………………3分即对一切都成立．令，，解之得或　经检验，符合题意，所以的通项公式为或． …………………………………………5分（2）由题意得，，，．…………………………………6分． ……………………………………………………7分 ． ………………………………………8分． ………………………9分记，即， ……………10分记，则 ，当，2，3时，，当时，，， …………………………12分因为时，，所以；且；．所以在时也是单调递增， …………14分时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，，所以满足条件的正整数n的集合为｛1，2，3，4，5，6｝．………………………16分21、A．证明：因为CA为圆O的切线，所以， ………………………………………………………………3分又，所以，即， …………………………5分又，所以∽， …………………………………8分所以∠CBE=∠BDE． ………………………………………………………………10分B． 解：设点为曲线上的任一点，在矩阵对应的变换作用下得到的点为，则由，………………………………………………………………3分得：　即 ………………………………………………………5分所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为， ………………………………………………………………………………8分所围成的图形为菱形，其面积为． …………………………………10分C．解：曲线C的直角坐标方程为， 圆心为，半径为， …………………………………………………………3分直线的直角坐标方程为， ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为， ………………………………8分所以弦长． ………………………………………………………10分D．选修4—5：不等式选讲解：因为 ， ……………………………………………3分所以． ………………………………………………5分等号当且仅当，即时成立． ………………………………8分所以的最大值为． …………………………………………………………10分22．解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为轴建立直角坐标系．………………………………………………1分则，，，，，所以，，， ……………………3分．…………………………………4分所以异面直线PB与MD所成的角为． …………………………………………5分（2）设平面PCD的法向量为，平面PAD的法向量为，因为，，，由令，得， ……………………7分 由令，得， …………………8分所以，所以．……………10分23．解：（1）当时，取数，，因为，…………………1分　　当时，取数，，，则，，，…………………………………………………3分即，，可构成三个好数． ………………………………………4分（2）证：①由（1）知当时均存有，②假设命题当时，存有个不同的正整数，其中，　　使得对任意，都有成立， …………………………………5分　　则当时，构造个数，，（*）　　其中，　　若在（*）中取到的是和，则，所以成立，　　若取到的是和，且， 　　则，由归纳假设得，　　又，所以是A的一个因子，即，　　所以， ………………………………………8分所以当时也成立． ………………………………………………………9分所以对任意正整数，均存有“个好数” ……………………………10分。