高中物理 运动的合成与分解的两个模型

运动的合成与分解的两个模型一、绳杆连体模型 例1、如图1所示，两根光滑的杆互相垂直地固定在一起上面各穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比 解析：小球a、b沿棒的分速度分别为和，两者相等 所以甲乙αv1v2图2解题思路：对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出v1甲乙αv1v2图3【举一反三】 如图2所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2分析与解：如图3所示，甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1BMCAROω图4α例2、如图4所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率Vm.分析与解：杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度VA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为： VA=ωRMCAROω图5αVAβB对于速度VA作如图5所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率VM，因为物块只有沿绳方向的速度，所以VM=VAcosβ由正弦定理知，由以上各式得VM=ωHsinα.练习：1.如图6所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v.2.如图7所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小. 图7图8图93.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.已知定滑轮到杆的距离为m.物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图8所示.试求：（1）m2在下滑过程中的最大速度.（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.如图9所示，S 为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？图105.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图10所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.6.如图11所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中图11（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。

球与地面作用中机械能的损失忽略不计）答案：1.v=2.vA=vBtanα;aA=aBtanα3.（1）由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE增=ΔE减，即m1v12+m22v2+m1g（A-A）sin30°=m2g·B又由图示位置m1、m2受力平衡，应有：Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°又由速度分解知识知v1=v2cos∠ACB，代入数值可解得v2=2.15 m/s,（2）m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得：ΔE增′=ΔE减′即:m1g（）sin30°=m2gH利用（1）中质量关系可求得m2下滑的最大距离H=m=2.31 m4.由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，则：∠SOS′=60°，图12OS′=L/cos60°.选取光点S′为连结点，因为光点 S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动.速度v1和绕O点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线 OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图12可得：v1=vsin60°,v2=vcos60°又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O转动角速度为2ω.则：v2=2ωL/cos60°vcos60°=2ωL/cos60°,v=8ωL.5.以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图13，即vQ=vB1=vBcos45°=vB图13于是重物的动能增为 Ek2 =mvQ2=mvB2在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为h=H-H=（-1）HWG=-mgh=-mg（-1）H于是由动能定理得 WT+WG=ΔEk=Ek2-Ek1即WT-mg（-1）H=mvB2-0所以绳子拉力对物体做功WT=mvB2+mg（-1）H6.（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.mg（h-r）=mvA2+mvB2 ①由图中几何知识知：h=cot30°·r=r ②图14A、 B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图14所示。

由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2即vAcos30°=vBsin30° ③解得vA=vB= （2）A球落地后反弹速度vA′=vA做竖直上抛运动的最大高度：Hm=二、小船渡河模型 求解小船渡河问题时，先要弄清小船的合运动就是实际运动，再按实际效果分解位移和速度，根据平行四边形定则画矢量图，结合分运动与合运动的等时性和独立性列式小船渡河常见的问题如下 两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速 两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间 例1、一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：（1）怎样才能使渡河时间最短？（2）若>，怎样才能使渡河位移最小？（3）若<，怎样渡河才能使船行驶的距离最短？解析：（1）研究小船渡河问题时，可以把小船的渡河运动分解为两个运动，一个是小船在静水中的运动，另一个是水流的运动船的实际运动为两者的合运动，如图2所示设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为可以看出：L、一定时，t随sinθ增大而减小当θ=90°时，sinθ=1（最大），即船头与河岸垂直时用时最短。

2）如图3所示，渡河的最小位移即河的宽度为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即沿河岸方向的速度分量等于0这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河3）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使船行驶的距离最短呢？如图4所示，设船头与河岸成θ角，合速度与河岸成α角可以看出：α角越大，船行驶的距离s越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以的矢尖为圆心，的速度大小为半径画圆，当与圆相切时，α角最大根据可知此时船沿河行驶的距离最短此时渡河的最短距离【举一反三】：设有一条河，其宽度为700m，河水均匀流动，流速为2m/s，汽船在静水中的行驶速度为4m/s则汽船的船头应偏向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？参考答案：与上游河岸成60°角。