高中数学阶段常见函数性质汇总.doc

高中阶段常见函数性质汇总xybOf(x)=b函 数 名 称：常数函数解析式 形 式：f(x)=b (b∈R)图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线定 义 域：R值 域：{b}单 调 性：没有单调性奇 偶 性：均为偶函数[当b=0时，函数既是奇函数又是偶函数]反 函 数：无反函数周 期 性：无周期性xyOf(x)=kx+b函 数 名 称：一次函数解析式 形 式：f(x)=kx+b (k≠0,b∈R)图象及其性质：直线型图象k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；当b=0时，函数f(x)的图象过原点；当b=0且k=1时，函数f(x)的图象为一、三象限角平分线；当b=0且k=-1时，函数f(x)的图象为二、四象限角平分线；定 义 域：R值 域：R单 调 性：当k>0时，函数f(x)为R上的增函数；当k<0时，函数f(x)为R上的减函数；奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；反 函 数：有反函数[特殊地，当k=-1或b=0且k=1时，函数f(x)的反函数为原函数f(x)本身]周 期 性：无函 数 名 称：反比例函数xyOf(x)=解析式 形 式：f(x)= (k≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为原点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y=x、y=-x；定 义 域：值 域：单 调 性：当k>0时，函数f(x)为和上的减函数；当k<0时，函数f(x)为和上的增函数；xyOf(x)=奇 偶 性：奇函数反 函 数：原函数本身周 期 性：无函 数 名 称：变式型反比例函数解析式 形 式：f(x)= (c≠0且 d≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线、直线相交，当k>0时，函数f(x)的图象分别在直线与直线形成的左下与右上部分；当k<0时，函数f(x)的图象分别在直线与直线形成的左上与右下部分；双曲线型曲线，直线与直线分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为点；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为、；由于令，则进而函数f(x)的图象可以看成是由函数向左平移个单位，向上平移 个单位得到的定 义 域：值 域：单 调 性：当时，函数在和上均为减函数；当时，函数在和上均为增函数；奇 偶 性：非奇非偶函数反 函 数：周 期 性：无xyOf(x)=函 数 名 称：二次函数解析式 形 式：一般式：顶点式：两根式：图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为或，与轴的交点为；②当时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点；当时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点；③当时，函数图象与轴有两个交点，当时，函数图象与轴有一个交点，当时，函数图象与轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当时，横坐标距对称轴近则函数值小，当时，横坐标距对称轴近则函数值大；⑤函数均可由函数平移得到；定 义 域：R值 域：当时，值域为；当时，值域为单 调 性：当时，上为减函数，上为增函数；当时，上为减函数，上为增函数；奇 偶 性：当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周 期 性：无xyOf(x)=f(x)=函 数 名 称：指数函数解析式 形 式：图象及其性质：①函数图象恒过点，与 轴不相交，只是无限靠近；②函数与的图象关于轴对称；③当时，轴以左的图象夹在在直线与轴之间，轴以右的图象在直线以上；当时，轴以左的图象在直线以上，轴以右的图象夹在在直线与轴之间；④第一象限内，底数大，图象在上方；定 义 域：R值 域：单 调 性：当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；奇 偶 性：无反 函 数：对数函数xyOf(x)=f(x)=周 期 性：无函 数 名 称：对数函数解析式 形 式：图象及其性质：①函数图象恒过点，与轴不相交，只是无限靠近；②函数与的图象关于轴对称；③当时，轴以下的图象夹在在直线与轴之间，轴以上的图象在直线以右；当时，轴以下的图象在直线以右，轴以上的图象夹在在直线与轴之间；④第一象限内，底数大，图象在右方；定 义 域：R值 域：单 调 性：当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数]xyOf(x)=12奇 偶 性：无反 函 数：指数函数周 期 性：无函 数 名 称：对钩函数解析式 形 式：图象及其性质：①函数图象与轴及直线不相交，只是无限靠近；②当时，函数有最低点，即当时函数取得最小值；③当时，函数有最高点，即当时函数取得最大值；定 义 域：值 域： 单 调 性：在和上函数为增函数；在和上函数为减函数；奇 偶 性：奇函数反 函 数：定义域内无反函数周 期 性：无2．3函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）2．3函数单调性 【典型例题】例1．(1)则a的范围为( D) 　　　A． B． C． D． 提示：21<0时该函数是R上的减函数. (2)函数)是单调函数的充要条件是( A ) A． B． C． D．提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象(3)已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ D ）A． B．C． D．提示：可转化为和在利用函数单调性可得.(4) 如下图是定义在闭区间上的函数的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5] 提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并. (5) 函数的单调减区间是 提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1） （2）解：(1) 即 如图所示，单调增区间为，单调减区间为（2）当，函数当，函数即如图所示，单调增区间为，单调减区间为 (1) (2) 例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．证明：设 则　　 ，且在 与 中至少有一个不为0，不妨设 ，那么，故 在 上为减函数例4.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。

1）求证：； （2）证明：时恒有；（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围解：(1)取m=0，n= 则，因为 所以 (2)设则 由条件可知又因为，所以∴时，恒有（3）设则 = = 因为所以所以即 又因为，所以 所以，即该函数在R上是减函数.(4) 因为，所以所以，所以【课内练习】1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(D ).A． B． C． 　　D． 提示：根据函数的图象.2.函数 的增区间是（A ）.　　A． [3,1] B． [1,1] C． D． 提示：注意函数的定义域.3. 在 上是减函数，则的取值范围是（A ）.　　A． B． C． D． 提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.4．若函数在区间[,b]上具有单调性，且,则方程在区间[，b]上（D）A．至少有一个实数根 B．至多有一个实数根 C．没有实数根 D．必有唯一的实数根提示:借助熟悉的函数图象可得.5. 函数 的单调增区间是____，单调减区间______提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6．若当 时是增函数,当时是减函数,则 13 提示：由题可知二次函数的对称轴是可求出m的值.7．已知在定义域内是减函数，且>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ②③ ①（为常数）；②（为常数）；③ ；④ ．提示：借助复合函数的单调性.8．函数上的最大和最小值的和为，则= 提示：是[0,1]上的增函数或减函数,故，可求得= 9．设是定义在上的单调增函数，满足 求：（1）f（1）；（2）当时x的取值范围.解:(1) 令可得 (2)又2=1+1= 由,可得因为是定义在上的增函数,所以有且且，解得：10．求证:函数在上是增函数.证明:设则当时 ,, ，所以所以函数在上是增函数.2．4 函数的奇偶性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）【典型例题】例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数为奇函数的充要条件是；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）．A．1 B．2 C．3 D．4提示：①不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－，）〕，答案为A．（2）已知函数是偶函数，且其定义域为［］，则（　　）　A．，b＝0 B．，b＝0 C．，b＝0 D．，b＝0提示：由为偶函数，得b＝0．　　又定义域为［］，∴ ，∴．故答案为A．（3）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则）在R上的表达式是（　　）　A．　 B． C． D．　　提示：由时，，是定义在R上的奇函数得：当x＜0时，，∴，即，答案为D．（4）已知，且，那么f（2）等于　　提示：为奇函数，，∴，∴．（5）已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为提示：由是偶函数，是奇函数，可得，联立，得：， ∴例2．判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）． 解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．(2) ，∴ ∴既是奇函数又是偶函数．（3）由得定义域为，∴，∵ ∴为偶函数 （4）当时，，则， 当时，，则， 综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．例3．若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：．解：由已知得因f(x)是奇函数，故 ，于是． 又是定义在（1，1）上的增函数，从而 即不等式的解集是．例4．已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，又．（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在[，6]上的最大值与最小值．（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) = 0．令，可得 ，即，故为奇函数．（2）证明：设∈R，且，则，于是．从而所以，为减函数．（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为，最小值为．于是，在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4．【课内练习】1．下列命题中，真命题是（ C ）A．函数是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数D．函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示：A中，在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当时，在（0，2）上为减函数，答案为C．2． 若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（　　）A．最小值－5　　B．最大值－5 C．最小值－1　　　D．最大值－3提示：、为奇函数，∴为奇函数．又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3．∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案为C．3．定义在R上的奇函数在（0，+∞）上是增函数，又，则不等式的解集为（A）A．（－3，0）∪（0，3） B．（－∞，－3）∪（3，+∞）C．（－3，0）∪（3，+∞） D．（－∞，－3）∪（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A．4.已知函数是偶函数，在［0，2］上是单调减函数，则（A）A. B. C. D. 提示：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴在［－2，0］上单调递减.∵是偶函数，∴在［0，2］上单调递增. 又，故应选A.5．已知奇函数，当∈（0，1）时，lg，那么当∈（－1，0）时，的表达式是．提示：当（－1，0）时，∈（0，1），∴．6．已知是奇函数，则＋= 2008．提示： ，，解得：，经检验适合，．7．若是偶函数，当∈［0，+∞)时，，则的解集是提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出的图象，由图可知的解集为，∴的解集为.8．试判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）； （3）．解：（1）函数的定义域为R，，故为偶函数．（2）由得：，定义域为，关于原点对称，，，故为奇函数．（3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数．9．已知函数对一切，都有，若，用表示． 解：显然的定义域是，它关于原点对称．在中， 令，得，令，得，∴， ∴，即， ∴是奇函数． ∵， ∴．10．已知函数是奇函数，又，，，求、、的值.解：由得 ∴c=0. 又，得，而，得，解得.又，∴或.若，则b=，应舍去；若，则b=1∈Z.∴.2．5 映射的概念、指数函数作业本A、B卷 （练习题和解析） A组1．在M到N的映射中，下列说法正确的是（ D ）A．M中有两个不同的元素对应的象必不相同 B．N中有两个不同的元素的原象可能相同C．N中的每一个元素都有原象 D．N中的某一个元素的原象可能不只一个提示：M中两个不同的元素对应的象可以相同， N中的元素可以没有原象．答案为D．2．函数是指数函数，则有（ C）. A．或 B． C． D．且提示：得：，答案为C．3．已知，则下列关系中正确的是（ D ） A B C D 提示：，有在R上为减函数知，答案为D． 4．在定义域内是减函数，则的取值范围是（1，2）提示：由解得：5．若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数提示：若，则，即，解得：．若，则即，解得：．综上所述；．6.比较下列个组数的大小：（1）与；（2）.解：（1）∵ 且， ∴ .（2），，∵ ，∴ 7.求函数的值域及单调区间. 解：①令，则，， ,即∴ 函数的值域为.②函数在R上为减函数，当时，为增函数，当时，为减函数∴ 所给函数的增区间为，减区间为.8．已知函数的对称轴为直线，且，比较的大小．解：由题意：，∴ ，∴，在上单调递增．当时，，则；当时，，则；当时，，则．B组1．设它的最小值是（ ）A． B． B． D．0提示：设，得，当时，．2．下列：M→N的对应关系中,不是映射的是（C ） A．M={α|} ，N=[0,1]，：取正弦． B．M={α|}，N=[－1,1]，：取余弦． C．M={0,1,2}，N={0, 1, }，：取倒数． D．M ={－3,－2,－1,2,3}，N={1,4,9,16}，：取平方．提示：C中，0没有象．3.函数的单调递增区间是（ D ） A、 B、 C、 D、提示：,的减区间就是所给函数的增区间.答案为D．4．设，使不等式成立的的集合是提示：∵ ，∴ 原不等式可以化为：，解得．5．若M={－1,0,1} N={－2,－1,0,1,2}从M到N的映射满足：对每个∈M恒使+ 是偶数, 则映射有_12__个．提示：中的元素与其在中的象的和为偶数，故为偶数时，为偶数，为奇数时，为奇数，故符合条件的映射的个数为（个）6．已知，求函数的最大值和最小值．解 ：由得：，解得：, ∴ 令，则, 当时，，此时，；当时，，此时，．7.若，且，求证：(1)当时， ；(2)当时， .证明：∵ ，且a+b=c，∴ ， ∴，（1）当时，，所以；（2）当时，，所以.8.（1）已知是奇函数，求常数m的值； （2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程|｜＝无解？有一解？有两解？解:（1）由得：,（2）当时，直线与函数的图象无交点,即方程无解；当或时, 直线与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当时, 直线与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解.8． 14。