2022-2023高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算学案苏教版选修2

2022-2023高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算学案苏教版选修2 学习目标　1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一　空间向量的概念思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二　空间向量及其线性运算1．空间向量的线性运算已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a＋c；＝－＝a－b＝－c.若P在直线OA上，则＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．知识点三　共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一　空间向量的概念及应用例1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．(2)向量的相反向量有，，，，共4个．(3)||＝＝＝＝3.引申探究如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量．解　(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有，，，，，，，.反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1　给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的命题的序号为________．答案　①②解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．类型二　空间向量的线性运算例2　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；(2)＋＋.解　(1)－＝－＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量，如图所示．引申探究利用本例题图，化简＋＋＋.解　结合加法运算，得＋＝，＋＝，＋＝0.故＋＋＋＝0.反思与感悟　1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．又∵＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝.∴＋＋＝2.类型三　向量共线定理的理解与应用例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．证明　设＝a，＝b，＝c，因为＝2，＝，所以＝，＝，所以＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.所以＝－＝a＋b－c－b＝a－b－c＝.又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，所以＝，又因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线．反思与感悟　1.判定共线：判定两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a＝λb.2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a∥b，则a＝λb(λ∈R)．3．判定或证明三点(如P，A，B)是否共线(1)是否存在实数λ，使＝λ.(2)对空间任意一点O，是否有＝＋t.(3)对空间任意一点O，是否有＝x＋y(x＋y＝1)．跟踪训练3　如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，用，表示向量.解　＝－＝(＋)－＝－(－)＝－.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD中，一定是＋＝.答案　②解析　若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD中，才有＋＝，故④不正确．2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的各条棱所在的向量中，与向量相等的向量有________个．答案　33．在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.其中运算的结果为的有________个．答案　4解析　根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.所以4个式子的运算结果都是.4．化简2＋2＋3＋3＋＝________.答案　0解析　2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0.5．若非零空间向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________.考点　空间向量的数乘运算题点　空间共线向量定理及应用答案　±1解析　由ke1＋e2与e1＋ke2共线，得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即故k＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号)①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律；③只有零向量的模等于0；④共线的单位向量都相等．答案　④解析　容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)答案　c－a－b解析　如图，∵＋＋＋＝0，即a＋b＋－c＝0，∴＝c－a－b.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋－＝________.答案　2解析　－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝2.4．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：①AB＋＝；②－＝；③|A|＋|B|＝|A|；④|A|－|A|＝|B|.其中一定不成立的是____________．(填序号)答案　②解析　根据空间向量的加减法运算，对于①：A＋B＝A恒成立；对于③：当A，B，A方向相同时，有|A|＋|B|＝|A|；对于④：当B，A，A在一条直线上且B与A，A方向相反时，有|A|－|A|＝|B|.只有②一定不成立．5．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．答案　0解析　延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋＝＋＝＋＝，故＋－－＝－＝0.6.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝________，－＋＝________.答案　　解析　＋＋＝＋＋＝，－＋＝－(－)＝－＝.7．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若C＝a，C＝b，C1＝c，则＝________.答案　－a＋b－c解析　如图，＝＋＝＋(－)＝－＋－＝－c＋b－a.8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________.答案　1　解析　∵＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)，∴x＝1，y＝.9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别是________．答案　，－解析　由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.10．在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号)①＋＋＋＝0；②＋＋＋＝0；③＋＋＋＝0；④－＋＋＝0.答案　②解析　易知四边形EFGH为平行四边形，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0.11.如图，已知在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量a，b，c表示)答案　3a＋3b－5c解析　设G为BC的中点，连结EG，FG，则＝＋＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式．(1)＋；(2)＋＋；(3)＋＋；(4)＋－.解　(1)＋＝.(2)＋＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＋＝＋＋＝.(4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝.13.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．解　∵＝＋＋＝－＋－－＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－＋＋，∴x＝，y＝－.三、探究与拓展14．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.答案　－8解析　∵＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2，又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，∴∴k＝－8.15.如图，设点A是△BCD所在平面外的一点，点G是△BCD的重心．求证：＝(＋＋)．证明　连结BG，延长后交CD于点E，由点G为△BCD的重心，知＝.∵E为CD的中点，∴＝＋.∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝(＋＋)．。