江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）

江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（175）（无答案）第一试一、 填空题（每小题8分，共64分）1. 已知是的内心，.若，则.2. 已知函数.若当时，不等式的解集是空集，则实数的取值范围是.3. 若成等比数列，成等差数列，则该等差数列的公差为.4. 已知双曲线的两个焦点分别为，过点的直线与该双曲线的右去交于两点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长为.5. 已知函数，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为.6. 如图1，已知直线平面，垂足为，在中，.该直角三角形的空间做符合以下条件的自由运动：①，②.则两点间的最大距离为.7. 集合，是集合的任意非空子集，是集合中任意两个元素，以为边长的等腰三角形有且只有一个.则集合中元素个数的最大值为.8.已知实系数一元二次方程有实根.则使得成立的正实数的最大值为.二、解答题（共56分）9.（16分）当时，求函数的最小值的表达式.10. （20分）已知数列满足.（1） 是否存在正整数，使得对任意的，有？（2） 设，问：是否为有理数？说明理由.11. （20分）设点和，是的直径，从左到右依次是的四等分点，（异于）是上的动点，于点，，直线与交于点，为定值.（1） 求的值及点的轨迹曲线的方程；（2） 若点是曲线上不同的两点，且与曲线相切，求面积的最小值.加 试一、（40分）如图2，已知的内心为，相对的旁切圆圆心为，的中点为，与交于点.证明：.二、 （40分）设是一个大于1的正整数，是素数，.（1） 证明：或；（2） 若是不同于的素数，则恰有个不同的解（即模互不同余）.三、（50分）设，为三维空间中个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上.将集合中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合中所有的点均在一个球面上.四、（50分）设为实数，.证明：（1）把写成无穷乘积有唯一的表达式，其中，为正整数，满足；（2）是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在，对所有的，满足.。