河南省漯河市2023～2024学年高一数学下学期5月月考试题[含答案]

2023-2024学年高一下学期5月检测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一． 选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知函数是偶函数，则的值为（     ）A． B． C． D．2．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）A． B． C． D．3．函数的定义域为（    ）A．{且} B．{且}C． D．{且}4．“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（    ）A． B． C． D．5．如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（    ）A． B．C．平面 D．平面6．若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ）A． B．C． D．7．已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。

在每题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9．定义域为，为偶函数，且，则下列说法正确的是（    ）A．的图象关于（1，0）对称 B．的图象关于对称C．4为的周期 D．10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（   ）A．若，则为等腰三角形B．在锐角中，不等式恒成立C．若，，且有两解，则b的取值范围是D．若，的平分线交于点D，，则的最小值为911．已知向量满足，且，则（　　）A． B． C． D．12．定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（    ）A．若，，则实数m的取值范围为B．若，，则实数m的取值范围为C．若，，则实数m的取值范围为D．若，，则实数m的取值范围为三．填空题（共4小题，每题5分，共20分13．已知函数，则关于x的不等式的解集为．14．已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是.  15．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是．16．在△ABC中，D是边BC上的点，AD平分∠BAC，且△ABD面积是△ADC面积的2倍，AD=2，DC=2，则边AC=__________．四．解答题（共6小题，共70分）（10分）17．已知.(1)若在（）上单调，求m的最大值；(2)若函数在上有两个零点，，求实数k的取值范围及的值.（12分）18．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.  (1)求证：；(2)求证：平面；(3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由.（12分）19．记锐角的内角的对边分别为.向量，，且.(1)求角；(2)已知点为所在平面内的一点，（i）若点满足，且，求的值；（ii）若点为内切圆圆心，求的取值范围.（12分）20．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．(1)求函数的解析式；(2)若，，求：①的最小值；②讨论关于m的方程的解的个数．（12分）21．如图，在中，已知，M是的中点，N是上的点，且相交于点P．设.(1)若，试用向量表示;(2)若，求实数x的值．（12分）22．某镇为了拓展旅游业务，把一块形如的空地(如图所示)改造成一个旅游景点，其中.现拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.(1)当时，求防护网的总长度.(2)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，试问当多大时，的面积最小?最小面积是多少?数学答案1．C【详解】因为是偶函数，所以，即，又，所以.2．B【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．3．D【详解】由题意得，解得且，即定义域为.4．A【详解】依题意，中，，，即，解得.在中，，即.5．D【详解】对于，，分别为，的中点，，EF与平面BCD平行过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，，，故AB正确；对于，，平面，平面，平面，故正确；对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误.6．C【详解】因为在第一象限，所以，，所以，，所以是第一､三象限角，当是第一象限角时，，，，；当是第三象限角时，，，，；综上，一定成立.7．A【详解】由题意得，函数的增区间为，且，解得.由题意可知：.于是，解得.又，于是.8．C【详解】由题意可知，函数的图象如图所示：根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线.令，则关于的方程即可写成，此时关于的方程应该有两个不相等的实数根设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：①当，时，此时，则；②当，时，此时，则；综上可知，实数的取值范围是.9．ABC【详解】因为为偶函数，则，可知函数关于对称，，把换成可得，两式相加可得，关于对称，又关于轴对称，则可得，，可知4为的周期，所以ABC都正确．令，，，，，D选项错误.10．BCD【详解】选项A，因为，即，所以有整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；选项B，若为锐角三角形，所以，所以，由正弦函数在单调递增，则，故B正确.选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确．选项D，的平分线交于点D，，由，由角平分线性质和三角形面积公式得，得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故D正确.11．BC【详解】因为，所以，即，整理可得 ，再由，且可得，所以，，故错误；又因为，所以向量的夹角，故向量共线且方向相反，所以，故B正确；又，所以，故C正确．12．BD【详解】对于函数，因，则函数是奇函数.不妨设，则， 对于A项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数.由，则，即（*），①当时，此时恒成立；② 当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误；对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数，由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确；对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数，由，则，即（*），①当时，无解；② 当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误；对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数，由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确.13．【详解】当时，得，当时，，得，所以，综上：的解集为，故答案为：.14．【详解】由图知，所以，因为，所以，即，由，知，因为在上恰有一个最大值和一个最小值，所以，解得．故答案为：．15．【详解】因为函数在上单调递减，所以，即，所以函数的值域为，因为对任意的，总存在使得成立，故的值域是值域的子集，对，，当时，，符合题意；当时，函数在单调递增，所以，所以解得，又，所以，综上，实数a的取值范围是．16．【详解】如所示，∠DAB=∠CAD,∠ADB+∠CDA=π,即sin∠DAB=sin∠CAD,sin∠ADB=sin∠CDA,由S△ABD=2S△ACD⇒12AB⋅AD⋅sin∠BAD=2×12AC⋅AD⋅sin∠CAD⇒AB=2AC由正弦定理可得：DBsin∠BAD=ABsin∠ADB,DCsin∠CAD=ACsin∠ADC，两式作商得：BDDC=ABAC=2⇒BD=22设AC=b，则AB=2b，由余弦定理得：cos∠BAD=22+2b2-2228b=cos∠CAD=22+b2-224b⇒b=217．(1)的最大值为；(2);【详解】（1），，，，因为，所以，若在（）上单调，所以，解得：，所以的最大值为；（2）由（1）可知，在上有两个零点，，即与在上有2个交点，，，设，即与，有2个交点，在单调递增，在单调递减，，，，则，解得：；并且，与关于对称，即，所以.18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，证明见解析【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面，平面平面，所以；（2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点，所以且，由（1）知，又，所以且，所以四边形为平行四边形，故，而平面，平面，则平面.  （3）取中点N，连接，，因为E，N分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，线段存在点N，使得平面，理由如下：由（2）知：平面，又，平面，平面，所以平面平面，又M是上的动点，平面，所以平面，所以线段存在点N，使得平面.19．(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）因为，所以，由正弦定理可得，由余弦定理有，因为，所以.（2）（i）因为，所以，即，所以，即为三角形的外心，由正弦定理可得，；（ii）因为点为内切圆圆心，所以分别为的平分线，所以，因为是锐角三角形，则,所以，所以设，,则，所以，即，，，在中，由正弦定理有，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为.20．(1)(2)①；②答案见解析【详解】（1）（1）由得，对称轴为，设，∴，得，∴．（2）（2）①，，对称轴，ⅰ当即时，在单调递增，，ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，∴，ⅲ当即时，在单调递减，，综上：②画出函数的图象图下图所示：  利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：  方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.21．(1)，(2)【详解】（1），设，因为，所以，即，由共线得：，解得：，所以，所以.（2），因为，由于共线，故，所以，解．22．(1)(2)时，的面积最小，且最小值为【详解】（1）在中，，，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，则，所以，又，所以，即为正三角形，则的周长为9，即防护网的总长度为.（2）设，在中，由正弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以当且仅当，即时，的面积最小，且最小值为.。