四川省成都市2023-2024学年高一数学下学期5月月考试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组向量中，能作为基底的是（ ）A.， B.，C. ， D. ，2. 在正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知平面，且.在梯形中，，且，.则下列结论正确的是（ ）A.直线与可能为异面直线 B.直线相交于一点C. D.直线与可能为异面直线4.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D. 5. 雷锋塔，位于杭州西湖，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，雷锋塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则雷锋塔的高度约为（）A. B. C. D. 6.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.7. 在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（） A. B. C. D.8.已知函数在上有最大值，且在上单调，则的取值范围是（）A.B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A. 若，则B. 若向量，则向量在向量上的投影向量为C. 非零向量和满足，则与的夹角为D. 点，与向量同方向的单位向量为10.在边长为的正方体中，点是一个动点，且平面，则线段的长度可能是（）A.B.C. D. 11.已知是复数，且为纯虚数，则（）A. B. C.在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为12.设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（）A.B.C.D.为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.14.在中，若，则__________.15.棱长为的正四面体的外接球的表面积为__________.16.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知为虚数单位，复数．（Ⅰ）当实数取何值时，是实数；（Ⅱ）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值.18.（本小题12分）如图，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，当取得最小值时，求的值．19.（本小题12分）如图，在正三棱柱中，是的中点，．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．20.（本小题12分）如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使位于处，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的大小．21.（本小题12分）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围．22.（本小题12分）设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．（Ⅰ）已知函数，求证：（ⅰ）；（ⅱ）函数为下凸函数；（Ⅱ）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届5月月考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组向量中，能作为基底的是（ A ）A.， B.，C. ， D. ，2. 在正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（ C ） A. B. C. D. 3. 如图，已知平面，且.在梯形中，，且，.则下列结论正确的是（ B ）A. 直线与可能为异面直线 B. 直线相交于一点C. D. 直线与可能为异面直线4.已知，则的大小关系为（ D ）A. B. C. D.5. 雷锋塔，位于杭州西湖，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，雷锋塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ B ）A. B. C. D. 6.已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（A）A. B. C. D.7. 在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（ C ）A. B. C. D.8.已知函数在上有最大值，且在上单调，则的取值范围是（D）A.B. C. D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ BD ）A. 若，则B. 若向量，则向量在向量上的投影向量为C. 非零向量和满足，则与的夹角为D. 点，与向量同方向的单位向量为10.在边长为的正方体中，点是一个动点，且平面，则线段的长度可能是（ C D）A.B.C. D. 11.已知是复数，且为纯虚数，则（ ABD ）A. B. C.在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为12.设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（ ABD ）A.B.C.D.为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________.14.在中，若，则_____或_____.15.棱长为的正四面体的外接球的表面积为__________.16.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知为虚数单位，复数.（Ⅰ）当实数取何值时，是实数；（Ⅱ）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值.【解析】（Ⅰ）若复数是实数，则，……………3分.……………4分（Ⅱ）当时，，把代入方程得：，整理得：，……………8分所以，解得.……………10分18.（本小题12分）如图所示，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，当取得最小值时，求的值．【解析】（Ⅰ）以分别为轴建立平面直角坐标系；故，……………3分故；……………6分（Ⅱ），则，则，所以点的坐标为，故，，……………9分故，可知当时，取得最小值．……………12分19.（本小题12分）如图，在正三棱柱中，是的中点，．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【解析】（Ⅰ）连接，设，连接．由已知得，四边形为正方形，则为的中点.因为是的中点，所以．……………4分又因为平面，平面，所以∥平面． ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∥平面，所以与到平面的距离相等，所以．……………8分由题设及，得，且．所以，所以三棱锥的体积为． …………………12分20.（本小题12分）在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使位于处，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的大小．【解析】（Ⅰ）.……………2分.，，.平面.……………6分（Ⅱ）延长交于，连接.由(Ⅰ)可知,,又,.,，平面，又平面，平面. 为直线与平面所成的角. ……………9分在直角三角形中,,直线与平面所成的角为.……………12分21.（本小题12分）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围．【解析】（Ⅰ），，，又，，，又，，……………6分（Ⅱ），，，即平分，……………8分所以，……………10分又，，，，，．……………12分22.（本小题12分）设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．（Ⅰ）已知函数，求证：（ⅰ）；（ⅱ）函数为下凸函数；（Ⅱ）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）（ⅰ）……………3分（ⅱ）令，则所以，即函数为下凸函数……………8分（Ⅱ）因为函数在区间内为上凸函数则对任意的，有恒成立因为则因为所以……………12分。
