甘肃省武威市凉州区2023～2024学年高一数学下学期期中质量检测试题[含答案]

2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,-1),b=(m,3)，若a//b，则m=(    )A. 32 B. -32 C. 6 D. -62.已知是i虚数单位，则复数1+2i1+i的虚部是(    )A. -32 B. -12 C. 12 D. 323.八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，给出下列结论：①BF-HF+HD=0；②OA+OC=-2OF；③AE+FC-GE=AB；④OA+OB+OC+OD+OE+OF+OG+OH=0.其中正确的结论为(    )A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③4.cos163∘cos223∘+cos253∘cos313∘等于(    )A. -12 B. -32 C. 32 D. 125.在△ABC中，A=120∘,C=15∘,AC=6，则BC=(    )A. 4 B. 23 C. 3 D. 226.一物体受到相互垂直的两个力F1、F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为(    )A. 103N B. 0N C. 56N D. 562N7.已知a，b是单位向量，|2a+b|=3，则a与b的夹角为(    )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π68.在△ABC中，若AB=4，BC=5，B=60∘，则AC=(    )A. 21 B. 31 C. 51 D. 61二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.关于复数，给出下列命题正确的是(    )A. 3>3i B. 16>(4i)2 C. 2+i>1+i D. |2+3i|>|2+i|.10.下列命题的判断正确的是(    )A. 若向量AB与向量CD共线，则A，B，C，D四点在一条直线上B. 若A，B，C，D四点在一条直线上，则向量AB与向量CD共线C. 若A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量AB与向量CD不共线D. 若向量AB与向量BC共线，则A，B，C三点在一条直线上11.下列函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递增的是(    )A. y=tanx B. y=|sinx| C. y=cos2x D. y=-sinxcosx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.复数3i-1的共轭复数是______.13.若tanα=-2，则tan2α=______，tan(2α+π4)=______14.已知A(-2,4)，B(1,3)，C(m,n)，若A，B，C三点共线，则m，n的关系式为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知复数z=(m2-m)+(m-3)i，m∈R(i为虚数单位).(1)当m=2时，求复数zz-的值；(2)若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围.16.(本小题15分)已知|a|=4,|b|=3，在下列条件下求a⋅b：(1)向量a与b平行时；(2)向量a与b的夹角为60∘；(3)向量a与b垂直时.17.(本小题15分)已知α∈(π2,π)，sinα=255.(1)求sin(π4+α)的值；(2)求cos(5π6-2α)的值．18.(本小题17分)已知sin(α+β)=23，sin(α-β)=-15，求tanαtanβ的值.19.(本小题17分)已知f(x)=23sinx2cosx2+2sin2x2-1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)已知α，β均为锐角，f(α+π6)=85，cosβ=55，求sin(α-β)的值.答案和解析1.【答案】D 【解析】解：向量a=(2,-1),b=(m,3)，且a//b，则-1×m=2×3，所以m=-6.故选：D.利用向量共线的坐标表示，列式计算作答．本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题．2.【答案】C 【解析】解：1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=3+i2=32+12i，∴复数1+2i1+i的虚部为12.故选：C.根据复数的乘除法运算法则，计算可得答案．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．3.【答案】C 【解析】解：①：BF-HF+HD=BF+FH+HD=BH+HD=BD≠0，故①结论错误；②：由正八边形性质知：OA⊥OC，OA=OC=OB=1，设OB∩AC=M，如图所示：因为∠AOB=∠COB=45∘，所以M为AC中点，所以OA+OC=2OM，因为OM=12AC=22，所以OM=22OB，所以OA+OC=2OB，又OB=-OF，所以OA+OC=-2OF，故②结论正确；③：由正八边形性质知：AG//CE且AG=CE，即AG=CE，所以AE+FC-GE=AE+EG+FC=AG+FC=CE-CF=FE，又FE=AB，所以AE+FC-GE=AB，故③结论正确；④：OA+OB+OC+OD+OE+OF+OG+OH=(OA+OE)+(OB+OF)+(OC+OG)+(OD+OH)=0，故④结论正确．故选：C.根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可．本题主要考查平面向量基本定理，命题真假的判断，考查运算求解能力，属于中档题．4.【答案】D 【解析】解：cos163∘cos223∘+cos253∘cos313∘=-cos17∘(-cos43∘)+(-cos73∘)cos47∘=cos17∘cos43∘-sin17∘sin43∘=cos(17∘+43∘)=cos60∘=12.故选：D.利用诱导公式及和差角公式即得．本题考查诱导公式及两角和的余弦公式的应用，属于基础题．5.【答案】C 【解析】解：△ABC中，A=120∘,C=15∘,AC=6，所以B=180∘-A-C=45∘，由正弦定理得ACsinB=BCsinA，即6sin45∘=BCsin120∘，解得BC=6⋅3222=3.故选：C.由三角形内角和可得角B的大小，然后由正弦定理可得BC的大小．本题考查正弦定理的应用，属于基础题．6.【答案】C 【解析】解：根据平行四边形定则，两个合力的大小为：F=F12+F22=(53)2+(53)2=56N，故选：C.根据向量加法的平行四边形法则，结合勾股定理，即可得出答案．本题考查向量的运算，属于基础题．7.【答案】C 【解析】解：由|2a+b|=3，可得(2a+b)2=3，即4a2+4a⋅b+b2=3，又|a|=|b|=1，∴a⋅b=-12，∴cos=a⋅b|a||b|=-12，∵∈[0,π]，∴=2π3.故选：C.由数量积性质，直接将向量的模转化为向量的数量积进行运算，解出夹角余弦值，进而根据范围求角．本题考查平面向量数量积运算及性质，属基础题．8.【答案】A 【解析】解：∵AB=4，BC=5，B=60∘，∴由余弦定理可得：AC=AB2+BC2-2×AB×BC×cosB=16+25-2×4×5×12=21.故选：A.由已知及余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．9.【答案】BD 【解析】解：不全是实数的两个复数不能比较大小，故AC错误；因为(4i)2=-16，因此16>(4i)2，故B正确；因为|2+3i|=22+32=13,|2+i|=22+12=5，因此|2+3i|>|2+i|，故D正确．故选：BD.利用复数的意义判断AC；利用复数的乘方计算判断B；计算复数的模判断D作答．本题主要考查了复数的运算和模长公式，属于基础题．10.【答案】BD 【解析】解：对于A，在平行四边形ABCD中，CD=AB，满足AB与CD共线，而A，B，C，D四点不共线，故A错误；对于B，A，B，C，D四点在一条直线上，则AB与CD方向相同或相反，即AB与CD共线，故B正确；对于C，平行四边形ABCD中，满足A，B，C，D四点不共线，有AB=DC，即向量AB与CD共线，故C错误；对于D，向量AB与BC共线，而向量AB与BC有公共点B，因此A，B，C三点在一条直线上，故D正确．故选：BD.根据给定条件，利用共线向量的意义逐项判断作答．本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．11.【答案】AC 【解析】解：对于A：函数y=tanx的最小正周期为π，在区间(π2,π)上单调递增，故A正确；对于B：函数y=|sinx|的最小正周期为π，在区间(π2,π)上单调递减，故B错误；对于C，函数y=cos2x=1+cos2x2=12cos2x+12的最小正周期为π，在区间(π2,π)上单调递增，故C正确；对于D：函数y=-sinxcosx=-12sin2x的最小正周期为π，在区间(π2,π)上先减后增，故D错误．故选：AC.直接利用函数的周期性和单调性的应用求出结果．本题主要考查了三角函数的周期性和单调性，属于基础题．12.【答案】-1-3i 【解析】解：∵复数3i-1=-1+3i，∴根据复数共轭复数的定义可知复数的共轭复数为-1-3i.故答案为：-1-3i.根据共轭复数的定义即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．13.【答案】43  -7 【解析】解：因为tanα=-2，所以tan2α=2tanα1-tan2α=2×(-2)1-(-2)2=43，所以tan(2α+π4)=tan2α+11-tan2α=43+11-43=-7.故答案为：43；-7.利用正切的和角及倍角公式，再利用条件即可求出结果．本题主要考查二倍角的正切公式及两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】3n+m=10 【解析】解：由A(-2,4)，B(1,3)，C(m,n)可得：AB=(3,-1),BC=(m-1,n-3)，因为A，B，C三点共线，所以AB//BC，所以3(n-3)=1-m，整理得：3n+m=10.故答案为：3n+m=10.由A，B，C三点共线，可得AB//BC，利用向量共线的充要条件即可得到m，n的关系式．本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．15.【答案】解：(1)当m=2时，z=2-i，故zz-=(2-i)(2+i)=5；(2)若复数z在复平面内对应的点(m2-m,m-3)位于第三象限，则m2-m<0m-3<0，解得032，∴α∈(π2,23π)，2α∈(π,43π)，∵sin2α=2cosαsinα=-45，∴cos2α=-1-sin22α=-35，∴cos(56π-2α)=cos5π6cos2α+sin56πsin2α=33-410. 【解析】本题考查由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的余弦公式、两角和与差的正弦公式、二倍角正弦公式，属于中档题．(1)利用同角三角函数平方关系求出cosα，结合两角和差的三角函数公式，求解即可得出答案；(2)先根据sinα=255>32求出α∈(π2,23π)，从而得到2α∈(π,43π)，利用二倍角公式求出sin2α，利用同角三角函数平方关系，求出cos2α，结合两角和差的三角函数公式，求解即可得出答案．18.【答案】解：sin(α+β)=23，sin(α-β)=-15得sinαcosβ+cosαsinβ=23,sinαcosβ-cosαsinβ=-15,所以sinαcosβ=23-152=730,cosαsinβ=23+152=1330.从而得tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=730×3013=713. 【解析】利用正弦的和差角公式，弦化切化简即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)f(x)=23sinx2cosx2+2sin2x2-1=3sinx-cosx=2sin(x-π6)，故函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；(2)f(α+π6)=85，则2sinα=85，解得sinα=45，∵α，β均为锐角，cosβ=55，∴cosα=1-sin2α=35，sinβ=1-cos2β=255，∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=45×55-35×255=-255. 【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及最小正周期公式，即可求解；(2)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题．。