广东省高州市2023～2024学年高一数学下学期期中试题[含答案]

2024年高一第二学期期中测试卷数学全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3．选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章～第八章一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（ ）A． B． C． D．2．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ）A． B． C． D．3．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）A．， B．，C．， D．，4．已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（ ）A．4 B． C． D．55．如图，有一古塔，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，在点测得塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于西偏北方向上（在同一水平面），则塔的高度约为（ ）A． B． C． D．6．若圆台的高是，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为，则这个圆台的侧面积是（ ）A． B． C． D．7．如图，在中，点在所在平面外，点是点在平面上的射影，且点在的内部．若，，两两垂直，那么点是的（ ）A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心8．已知是边长为4的等边三角形，为圆的直径，若点为圆上一动点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数满足，则（ ）A．的实部是3 B． C． D．10．在下列情况的三角形中，有两个解的是（ ）A．，， B．，，C．，， D．，，11．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，，其外接球的表面积为，当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（ ）A．B．此鳖臑的体积的最大值为C．直线与平面所成角的余弦值为D．三棱锥的内切球的半径为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在复平面内，复数对应的点为，则________．13．已知向量，满足，，，则，的夹角的大小为________．14．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，若为的面积，则的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）设是实数，复数，（i是虚数单位）．（1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围；（2）求的最小值．16．（本小题满分15分）在中，角，，的对边分别为，，，且的面积为．（1）求角的大小；（2）若是的一条中线，求线段的长．17．（本小题满分15分）如图（1），在直角梯形中，，，，是的中点，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥，如图（2）．（1）在图（2）中，求证：；（2）在图（2）中，为线段上任意一点，若平面，请确定点的位置．图（1） 图（2）18．（本小题满分17分）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围．19．（本小题满分17分）如图，在三棱柱中，侧面为矩形．（1）设为中点，点在线段上，且，求证：平面；（2）若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．2024年高一第二学期期中测试卷·数学参考答案、提示及评分细则1．B．故选B．2．A如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，，所以．故选A．3．C根据平面基底的定义知，向量，为不共线非零向量，即不存在实数，使得，对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底；对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得此时方程组无解，所以和可以作为基底；对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得解得，所以和不可以作为基底；对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得此时方程组无解，所以和可以作为基底．故选C．4．D的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是8和6，斜边上的中线长度为5．故选D．5．B如图，根据题意，平面，，，，．在中，因为，所以，解得．在中，．故选B．6．A由题意，可作该圆台的轴截面，如图所示：则圆台的高，上底面半径，下底面半径，即，母线，即，在中，，，，易知在正方形中，，则，即，综上，，，，，圆台的侧面积．故选A．7．C连接，，，，，、平面，，平面，平面，．由题意，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，同理可证，，点是的垂心．故选C．8．D如图所示，，由图象可知，与夹角的范围为，所以，所以，．故选D．9．ABC，据此可判断：A项，的实部为3，故A项正确；B项，，故，故B项正确；C项，，故C项正确；D项，，故D项错误，故选ABC．10．AD对于A，，，所以有两解，故正确；对于B，，所以有一解，故B错误；对于C，，，，．只有一解，故C错误；对于D，，，有两解，故D正确．故选AD．11．BC由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得，因为，所以，鳖臑的体积，当且仅当时，，故A项错误，B项正确；因为三棱柱为直三棱柱，故平面，所以直线与平面所成的角即为，；故C项正确；设鳖臑的内切球半径为，由等体积法，得，所以，故D项错误．故选BC．12．因为复数对应的点为，所以，所以，则．13．，，，，，，，．14．由题设及正弦定理边角关系得，即，而，故，又，则，故，而，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为．15．解：（1），则解得；（2），则，，，当时，的最小值为．16．解：（1）因为，又，所以，所以，又，所以；（2）因为为的中点，所以，所以，所以．17．（1）证明：在中，，分别是，的中点，，，，，平面，平面，平面，平面，；（2）解：为的中点，为的中点，，又，，平面，平面，平面，平面，，平面，，平面平面，平面，平面，平面平面，，，为的中点．18．解：（1）由正弦定理及余弦定理，化简，可得，，为锐角，；（2）由正弦定理，得，，，，由可得，，．．19．（1）证明：连接交于，连接，因为侧面为矩形，所以，又为中点，所以，又因为，所以．所以，又平面平面，所以平面；（2）解：在平面中，过点作射线，因为底面为矩形，所以，所以为二面角的平面角，且．又，所以平面，在平面中，过点作，垂足为，因为平面平面，所以，又平面平面，所以平面，于是为点到平面的距离，且，设直线和平面所成的角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值是．。