2024届高三数学最后一卷试题一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x²-4≤0}, B={x|2x+a≤0}, 且A∩B={x|-2≤x≤1}, 则a=( ) A.-4 B.-2 C.2 D.42.已知复数z满足：z-i(2+z)=0, 则z= ( ) A. -1-i B. -1+i C. 1+i D. 1-i3.已知向量ā=(3,4),b=(1,0),c=ā+tb,若((a,c)=(b,c),则实数t=( ) A. -6 B. -5 C. 5 D. 6 4. 设a=log49,b=log25,c=31-log34, 则a,b,c的大小关系为( ) A. b>a>c B. b>c>a C. a>b>c D. c>b>a5.已知双曲线:x2a2-y2b2=1a0,b>0),直线y=-2x是双曲线C的一条渐近线，则该双曲线的离心率为( )A.54B.53 c. 5 D. 56.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( ) A. [-1,1]U[3,+∞). B. [-3,-1]U[0,1]C.-10∪1+∞ D. [-1,0]∪[1,3] 7. 已知 3sinα+cosα=-85, 则cos2α+π3 的值为( )A.-725 B.725C.-2425D.24258.过抛物线y²=2x上的一点P作圆(C:x-4²+y²=1的切线, 切点为A, B, 则|AB|·|PC|可能的取值是 ( ) A. 1 B. 4 c. 6 D. 5二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知fx-Asinωx+lA0,ω>0,0<<π2)的部分图象如图所示，则( )A. f(0)=1 B. f(x)在区间4π311π6单调递减c. f(x)在区间π35π6的值域为-13D. f(x)在区间π22π有3个极值点10. 已知甲组数据为: 1, 1, 3,3, 5, 7, 9, 乙组数据为: 1, 3, 5, 7, 9,则下列说法正确的是( )A.这两组数据的第80百分位数相等 B.这两组数据的极差相等C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D.甲组数据比乙组数据分散11.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，空间中一动点P满足BP=λBC+μBBλμ∈R, M,N,Q分别为AA₁，AB，AD的中点，则下列选项正确的是( )A. 存在点P, 使得A₁P∥平面MNQB. 设AC₁与平面MNQ交于点K,则AKC1K=15C. 若∠PAC=30°, 则点P的轨迹为抛物线D.三棱锥P-QMN的外接球半径最小值为5-74三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在2x2+1x)0的展开式中，x°的系数是.13. 在△ABC中,c=3,a+b=7,cosC=23,则△ABC的面积为.14. 已知函数fx=x³+ax²+bx+e恰有两个零点x₁，x₂和一个极大值点x₁(x₁
6.6357.87910.82819.(本题17分)设函数fx=bc²+acosx,a₁b∈R.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+2.(1)求a, b的值; (2)求证:方程f(x)=2仅有一个实根;(3) 对任意x∈(0,+∞), 有f(x)>ksinx+2, 求正数k的取值范围.数学答案 一、选择题: BACAD DAD 二.多选题: 9 AD 10 BC 11. ABD 三. 填空题: 12. 160 13. 25 14. 4, 4.四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (1) 设等差数列Snn的公差为d，因为(a₁=S₁=1,所以S44-S11=3d,即104-1=3d,d=12,所以Snn=1+12n-1,即Sn=nn+l2, .3 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nn+12-nn-12=n, .5 当n=1时, a₁=1,满足上式，所以aₙ=n .6 (2) 由(1) 知 bn=n,n≥nn+2,为偶数，奇数，则T2n=b1+b3+b5+⋯+b2n-1+b2+b4+b6+⋯+b2a 奇数项和：b1+b3+b5+⋯+b2n-1=1+3+⋯+2n-1=n1+2n-12=n .8偶数项b2+b4+b6+⋯+b2n=12×4+14×6+16×8+⋯+12n×2n+2=1212-14+14-16+⋯+12n-12n+2=14-14n+4=n2+14-14n+4. 所以数列{bn}的前2n项和为T2n=n2+14-14n+416.(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1ab>0).由题意可知c=32a=4a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1,45363 (2) 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 联立方程 y=kx+2x24+y2=1, 消去y，得 1+4k2x2+82kx+4=0, .6Δ=128k²-164k²+1=64k²-16>0,则k>149 k<-14 7则x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2, 从而 y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1x2+2kx1+x2+2=2-4k21+4k2, .9 因为 OA⟂OB,OA⋅OB=0,即 x₁x₂+y₁y₂=0, .10所以41+4k2+2-4k21+4k2=6-4k21+4k2=0,解得k=62或-62, 经验证知△>0，所以k的值为 62或-62 .12 若 k=62,则AB方程 6x-2y+22=0, 原点O到直线AB 的距离 d=2210=25x1+x2=-837,x1x2=47 所以 SxOAB=12AB⋅d=12×1027×25=2107 14若k=-62,由对称性可知SNo2|=2107 所以三角形OAB的面积为 2107 1517. (1) 取 PB中点N, 连结MN, AN因为点M、N 分别为PC和PB 的中点,所以MN∥AD且MN=12BC1又底面ABCD是直角梯形，且∠ABC=∠BAD=π2,∴BCAD且AD=2,BC=4,则AD=12BC所以MN∥AD,MN=AD, 即四边形ADMN 是平行四边形.. .3所以DM ∥AN因为DM⊄平面PAB,AN⊂平面PAB ,所以DM∥平面PAB.. 4(2) 证明: 取PB的中点N, 连接AM, ∵AB=AP,∴AN⊥PB,又平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, AN⊂PAB平面,故AN⊥平面PBC, 而BC⊂平面PBC, 故AN⊥BC, .6又底面ABCD是直角梯形，且∠ABC=∠BAD=π2,∴BCAD,则AN⊥AD,而AD⊥AB,AN∩AB=A,AN,AB⊂平面PAB, 故AD⊥平面PAB,AD⊂平面PAD, 故平面PAD⊥平面PAB; 8(3)由(1)(2) 可知DM∥AN, AN⊥平面PBC, 所以DM⊥平面PBC则∠DPC为PD与平面PBC所成的角, 即∠DPC=30°,由于AD⊥平面PAB, AP⊂平面PAB, 故AD⊥AP,AD=2,AB=AP=2,故PD=AD2+AP2=6,在Rt△PDM 中,PM=PD⋅cos30=6×32=322,则PC=2PM=32,在Rt△PBC中,PB=PC2-BC2-2,∴APAB为等边三角形， .10取AB中点O, CD的中点为Q, 连接OP,OQ, 则OP⊥AB,OQ⊥AB,以点O为坐标原点，OA，OQ，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则 p0062,C-2240,D2220,CD=2-20,PC=-224-62, 设平面PDC的一个法向量为 n₁=x₁y₁z₁, 则 L2x1-2y1=0-22xi+4yi-62z1=0,取y₁=1,则n1=216,13 平面ABD的一个法向量为 n₂=0.01, 14 则 cosn1n=n1⋅n2|n||n2=63,故平面PDC与平面ABD所成角的正弦值为 1-632=33⋯⋯⋯.1518.【详解】(1) 依题意, 2×2列联表如下:Sora 的应用的情况视频从业人员合计减少未减少应用70575没有应用301545合计100201202零假设H₀：Sora 的应用与视频从业人员的减少无关， 由列联表中数据得， χ2=120×70×15-30×52100×20×75×45=725=14.4>10.828=x000, 5根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H₀不成立，即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001. 62(2)(i) 设4₁="员工第i轮获得优秀"(i=1,2,3), 且A₁相互独立.设B=“员工经过培训能应用Sora”， 则PB=PAA2A3+P4A2A3+HAA2A3+HA+4=23×12×13+13×12×13+23×12×13+23×12×23=12, 故员工经过培训能应用Sora的概率是¹/₂. 10(ii) 设视频部调x人至其他部门，x∈N，X为培训后视频部能应用Sora的人数， 则X∼B100-x12, 因此 EX=100-x2, 13 调整后视频部的年利润为100-x2×10+1-12100-x×6-100-x=700-7(万元), .15令700-7x≥100×6, 解得x≤1007≈143,又x∈N,所以.x=14. 因此，视频部最多可以调14人到其他部门. 1719.(1) 解: 因为fx=be²+acosx,所以.f0=bx⁰+a=a+b,又点(0,f(0))在切线y=x+2上, 所以f(0)=2, 所以a+b=2,又f'x=bc²-asinx, 即f'(0)=b=1, 所以a=b=1.. 4(3) 证明: 欲证方程f(x)=2仅有一个实根, 只需证明e'+cosx-2=(c⁴+cosx-2=0仅有一个零点，令gx=e²+cosx-2, 且g0=e⁰+cos0-2=0 .5则g'x=e⁴-sinx,讨论: 当x>0时, e²>1且sin<1, 即:g'x=e²-sinx>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=0,即此时无零点;………………………7当x=0时, g(0)=0, 即此时有一个零点: 当x<0时, gx=eˣ+cosx-2
