安徽省2023～2024学年高一数学下学期4月期中试题

2023~2024学年度第二学期度期中考查高一数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若复数是实数，则等于（）A.1 B. C. D.不存在2.设、是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）A.和 B.与C.与 D.与3.在中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，则（）A. B. C. D.24.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则（）A.2 B. C. D.55.已知，为两个单位向量且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A. B.2 C. D.7.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（）A.9 B.4 C.3 D.8.在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（）A.7 B.14 C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若直线与平面不平行，则与相交B.若直线上有两个点到平面的距离相等，则C.经过两条平行直线有且仅有一个平面D.如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行10.下列命题正确的是（）A.若，是复数，则B.若复数的共轭复数为，C.虚轴上的点对应的均为纯虚数D.已知复数满足（为虚数单位），则的最小值是11.下列说法正确的是（）A.若为非零实数，且，则与共线B.已知向量，，若，的夹角为锐角，则C.若点满足，，，则D.若，，则点的轨迹一定通过的内心12.在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则（）A.的最小值为 B.三棱锥体积为C.点到平面的距离为 D.四面体外接球的表面积为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆柱的轴截面为正方形且边长为4，则该圆柱的体积为______.14.在中，，则最大角的余弦值为______.15.已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为______.16.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知，是以为直径的圆上的两点，，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的体积为______.图1 图2四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量，满足，.（1）若，求向量的坐标；（2）若，求向量与向量夹角的余弦值.18.（本小题满分12分）（1）已知复数，其中为虚数单位，求及；（2）若关于的一元二次方程的一个根是，其中，是虚数单位，求的值.19.（本小题满分12分）如图，在中，，，，且，，与交于点.（1）求的值（2）求的值20.（本小题满分12分）如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点.（1）画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积；（2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：）21.（本小题满分12分）已知的内角，，的对边为，，，且.（1）求；（2）若的面积为；（1）已知为的中点，求底边上中线长的最小值；（2）求内角的角平分线长的最大值.22.（本小题满分12分）在中，，，对应的边分别为，，，.（1）求；（2）奥古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值.安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期期中考查高一数学参考答案1-4ADAB 5-8BACD9.CD 10.ABD 11.ACD 12.ABD13. 14. 15.6 16.8.【详解】延长，，分别交，，于，，，如图，由为垂心，可知在直角三角形中，，，由余弦定理可得，由A，E，H，F四点共圆及正弦定理可得，，由余弦定理，，所以，所以.所以，所以，所以，，其中，则.故选：D16.【详解】因为，所以，设圆的半径为，又，解得（负值舍去），过点作交于点，过点作交于点，则，，所以，同理可得，，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高，圆锥的高，底面半径，则其中一个球缺的体积，圆锥的体积，球的体积，所以几何体的体积.故答案为：17.（本小题满分10分）【详解】（1），，设，又，，，或.（2），，即，，，即向量与向量夹角的余弦值为.18.（本小题满分12分）【详解】（1）由，则，（2）由的一元二次方程的一个根是，且，可知该方程还有另一个根为.由韦达定理，，故得，，.19.（本小题满分12分）【详解】（1）因为，，所以，，所以，；因为，，，所以，所以.（3）依题意为向量与的夹角，又所以.20.（本小题满分12分）【详解】（1）连接并延长交于，连接交于，则四边形即为平面截正方体所得的截面.因为是的中点，根据三角形相似可得：、分别为和的中点，所以在中，，所以截面为梯形，且，，，如下图所示：分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，则易得，所以，梯形的面积为.（2）多面体为三棱台，，，该棱台的高为，所以，该棱台的体积为，故剩余部分的体积为.故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为.21.（本小题满分12分）【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，由于，所以（当且仅当时，等号取得到），所以，故长的最小值为；②因为为角的角平分线，所以，由于，所以，由于，所以，由于，又，所以，由于（当且仅当时，等号取得到），故，故，即角平分线长的最大值为.22.（本小题满分12分）【详解】（1）由正弦定理得，即，，即，，，，若，等式不成立，则，所以.又，所以.（如果得到进行化简也可以）（2）.又，，，.由三维分式型柯西不等式有.（当且仅当即时等号成立.）由余弦定理，得：，所以即，则.令，则因为解得，（当且仅当时等号成立）.所以.则.令，则在上递减，当即时，有最大值，此时有最小值.。